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《离散数学—11等价关系习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题解答（等价关系）习题1：如果关系R和S是自反的,对称的和可传递的,证明R∩S也是自反、对称和可传递的。证明设R和S是X上的自反关系。 1）对任意x∈X,有∈R和∈S,所以∈R∩S,即R∩S在X上是自反的。2）对任意∈R∩S,有∈R且∈S,因为R和S是对称的, 故必有∈R且∈S。即∈R∩S,所以R∩S在X上是对称的。3）对任意∈R∩S,∈R∩S则有∈R且∈S和∈R且∈S因为R和S是传递的, 故2、z>∈R,∈S,即∈R∩S,所以R∩S在X上是传递的。习题2：设R是集合X上的一个自反关系,求证：R是对称和传递的,当且仅当 和在R之中,并有∈R。证明设R是集合X上的一个自反关系,如果R是X上对称和传递的,则当任意a,b,c∈X,若有∈R且∈R则∈R且∈R故得∈R反之,由∈R,∈R,必有∈R,则对任意a,b∈X,若∈R，因R是集合X上的一个自反关系，有∈R,则得到∈R,故R是对称的。若3、,b>∈R且∈R,则∈R∧∈R,所以 ∈R,即R是可传递的。例题3：设{A1,A2,···AK}是集合A的一个划分,我们定义A上的一个二元关系R,使∈R当且仅当a和b在这个划分的同一块中。证明R是自反、对称和传递的。证明设对任意a∈A,则必存在Ai,使a∈Ai,因a与a必可看作在同一块中,故有∈R。即R是自反的。设a,b∈A,若有∈R,则a与b必在同一块中,故b与a亦在同一块中,∈R。即R是对称的。设a,b,c∈A,若有∈R∧∈R,则必i,使得a∈
4、Ai∧b∈Ai,且必j,使b∈Aj∧c∈Aj,这样i=j。因为若i≠j,则b∈Ai∩Aj。故Ai∩Aj≠Ø,这与Ai,Aj是A的划分块矛盾。由此得a,b,c均属同一分块Ai,因此∈R,即R是传递的。例题4：设R是集合A上的一个自反,对称和传递的关系,若{A1,A2,···AK}是集合A的子集的集合,当i≠j时,AiAj,使得a和b在同一个子集中,
