分块矩阵行列式的性质及其应用

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1、第23卷第6期高等函授学报(自然科学版)Vo1．23No．62O1O年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2O1O·大学教学·分块矩阵行列式的性质及其应用张燕(南京审计学院数学与统计学院江苏南京210029)摘要：利用分块矩阵的乘法，证明了分块矩阵行列式计算的相关性质，并给出其在某些12阶行列式计算中的应用实例。关键词：分块矩阵；行列式计算中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1oO6—7353(2010)06-0031-03在线性代数的学习中，分块矩阵的

2、思想不仅在矩阵运算中起着重要的作用，在很多行列式的两边同时取行列式得：lAcDBl·计算中，如果巧妙利用矩阵分块的思想，也能起到意想不到的效果。尤其是对于某些特殊结构的行lI0—AE：BI—一AD一0CA一。BlI列式的计算问题，利用矩阵分块行列式计算的相则有：lPI—IAI·lD—CABI关结论，可以简单而又迅速地解决。这对于纷繁复(2)同理，若D可逆，则：杂的行列式计算方法提供了一条有效的途径。本FAB]广0]rA—BDqCB1lLCD．Jlltl==：II-文首先总结分块矩阵的行列式计算方面的相关性．D～CE-JL0Dj质，并应用其解

3、决某些行列式计算问题。再两边同时取行列式得：lPI—1相关命题及结论lA—BDC1．IDl。推论l若A，B，C，D均为阶方阵，其中命题1叫设矩阵P=[Ac三]为+竹IAl≠0，且AC—CA，则有：阶矩阵，其中A，D分别为m与阶方阵，B为m×一I一csI。，l矩阵，C为×m矩阵，则：(1)当A可逆时，有lPI—JAc三l===IAI·证明由lAl≠o，则A可逆，由命题1可得：lD—CABl一·[D-c2当D可逆时，有lPJ—l会暑I—lAD—ACAqBI—lAD—CAABl—IA—BD1Cl·IDI。IAD—CBI。证明(1)若A可逆，由分块

4、矩阵的乘法命题2E。可得：广AB]rEm一B]厂Ao](1)设矩阵P一[Ac三]为m+阶矩阵，其LCD儿0E-JLCD—CAB．I中B，C分别为m和阶方阵，O为×m矩阵，A为m×矩阵，则：收稿El期：2010一ii一06．作者简介：作者简介：张燕(1978一)，女，江苏省溧阳人，硕士，讲师，研究方向：应用数学31第23卷第6期高等函授学报(自然科学版)V01．23No．62010年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2O1On维列向量，证明：IPl—I会三l一(

5、一1)lBI·IcI；lA+l=(2)设矩阵P=[詈言]为m+n阶矩阵，其证明因为中B，C分别为m和阶方阵，O为m×，z矩阵，D=为×矩阵，则：[L一1]J[L毒AO1]j．L[一1]J㈣厂l0Al口1IPI—I罢丢f—c一，IBI·fcl。口一+1J‘2证明(1)由分块矩阵的乘法-n-I得：在(1)(2)式两边同时取行列式得：[LlACOB]Jl·●[lL。EmOm×]Jl一—[『-IOBAC]JlI—A1J—Jf㈣两边同时求行列式可得：l。Bl·I盎O1．1乏+『(4)flOl一IO—CfI由(3)(4)可得：』一A；f—IA+印I—即

6、有：IPI．(一1)一IBI．1CI，其中lA1．11+-A～aI—IAI·(1+flrA～a)，结论得证。I一从而，推论3设A为n阶可逆矩阵，a与均为nJPI=(一1)lB1．ICl维列向量，则：IE十AI一1十一口。Arl(2)同理，由分块矩阵的乘法可得：证明由命题4，lA+I：IAI(1+E～)，则有fAIfA+I一1+一a，+[罢]·[．]=[暑]即lAq(A+)I=IE+A1I一1+～a。同样的，两边～同时求行列式可得：、，I-，●●L2典型例题IPI一(一1)JB1．JCf。A应用上述有关分块矩阵行列式计算的相关结论，我们可以解

7、决一些常见的特殊结构n阶行列推论2若矩口阵1P=：=[罢+阶矩1J式的计算问题，具体如下：阵，其中B，C分别为m和阶方阵，则：IPl—例1Ⅲ计算2n阶行列式D孙l罢言I—c一lBl·IcI。证明由推论1易得。命题3c。设A，B均为阶方阵，证明：z‘’·l会I==：IA+BI·IA—BI。‘’I。证明由分块矩阵的乘法可知：解具体的解过程见文献[4]。例2计算，z阶行列式[[会albb···brA+BO]bⅡ，b···bLBA—B-}D一663⋯6上式两边同时求行列式即得所证结果。命题4设A为阶可逆矩阵，a与均为bbb⋯a第23卷第6期高等函授

8、学报(自然科学版)Vo1．23No．62010年12月JournalofHigherCorrespondenceAEducation(NaturalSciences)2O1O一一