因子分析模型及其应用

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1、2012年9月阴山学刊Sep．2012第26卷第3期YINSHANACADEMICJOURNALVo1．26No．3因子分析模型及其应用＊田兵(包头师范学院《阴山学刊》编辑部，内蒙古包头014030)摘要:因子分析是主成分分析的推广和发展，是一种用来分析隐藏在表面现象背后的因子作用的一类统计模型。本文给出了因子分析的数学模型，并且举例说明其应用。关键词:因子分析;数学模型;公共因子;特殊因子;主成分法中图分类号:O186.13文献标识码:A文章编号:1004－1869(2012)03－0008－03因子分析是主成分分析的推广和发展

2、，也是多共同具有的公共因素，每个公共因子fj(i=1，2，…，元统计分析中降维的一种方法。它是一种用来分析m)一般至少对两个原始变量有作用，否则它将归入隐藏在表面现象背后的因子作用的一类统计模型。特殊因子。每个特殊因子εi(i=1，2，…，p)仅仅出因子分析研究相关阵或协方差阵的内部依赖关系，现在与之相应的第i个原始变量的表达式中，它只它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变对这个原始变量有作用。可将式(1)写成矩阵表示量与因子之间的相关关系。因子分析的主要应用有形式两个方面，一是寻求基本结构，简化观测系统，将具X=μ+AF+

3、ε，(2)T有错综复杂关系的对象综合为少数几个因子，再现其中F=(f1，f2，…，fm)为公共因子向量，ε=(ε1，T因子与原始变量之间的内在联系;二是用于分类，对ε2，…εp)为特殊因子向量，A=(aij)p×p为因子载于p各变量或n个样本进行分类。荷矩阵。通常假设1因子分析的数学模型E(F)=0，var(F)=Im，E(ε)=0，T222设X=(X1，X2，…，XP)是可观测的随机变量，var(ε)=D=diag(σ1，σ2，…σP)，且cov(F，ε)=0．(3)TE(X)=μ=(μ1，μ2，…，μP)，由上述假定可以看出，

4、公共因子彼此不相关且var(X)=Σ=(σi，j)p×p具有单位方阵，特殊因子也彼此不相关和公共因子因子分析的一般模型是也不相关。ìX1－μ1=a11f1+a12f2+…+a1mfm+ε12因子模型的性质ïïX2－μ2=a21f1+a22f2+…+a2mfm+ε2性质1:Σ的分解í(1)Tïï┇Σ=AA+D(4)î*=CX，则Xp－μp=ap1f1+ap2f2+…+apmfm+εp性质2:模型不受单位的影响。若X其中f1，f2，…fm(m＜p)为公共因子，ε1，ε2，…εp是有*****特殊因子。它们都是不可观测的随机变量。X=μ

5、+AF+ε，(5)公共因子f1，f2，…fm出现在每一个原始变量其中****Xi(i=1，2，…，p)的表达式中，可理解为原始变量μ=Cμ，A=CA，F=F，ε=Cε*收稿日期:2012－06－04作者简介:田兵(1982－)，男，山西五台人，中级，硕士，研究方向:数理统计。8性质3:因子载荷不是唯一的。设T是一m阶正看成是公共因子对Xi的方差贡献，称为变量Xi的共**T*2交矩阵，令A=AF，F=TF，ε=Cε，则模型同度或共性方差;而σi是特殊因子εi对Xi的方差(1)可表示为贡献，称为变量Xi的特殊方差。当X为各分量已经**

6、X=μ+AF+ε标准化的随机变量(σij=1)时，有因子载荷矩阵不唯一对实际应用有好处，通常221=hi+σi，i=1，2，…p．利用这一点，通过因子旋转，使得新因子有更好的实p22令gj=∑aij，则有际意义。j=1pmp3因子载荷矩阵的统计意义22∑var(Xi)=∑gj+∑σi．cov(X，F)=A和cov(Xi，fj)=aij．j=1j=1i=12即因子载荷a是第i个变量与第j个公共因子的相gj反映了公共因子fj对X1，X2，…Xp的影响，是ij关系数。由于X是f，f，…f的线性组合，所以系数衡量公共因子fj重要性的一个尺

7、度，可视为公共因i12ma，a，…a是用来度量X可由f，f，…f线性组子fj对X1，X2，…Xp的总方差贡献。i1i2imi12m合表示的程度。4因子分析模型的实际应用m对305名女中学生测量8个体型指标，相应的相22令hi=∑aij，则有j=1关矩阵如表1所示。取m=2用因子分析的方法对这22σij=hi+σi，i=1，2，…p．8个体型指标进行分析，估计因子载荷和共性方差2hi反映了公共因子对原始变量Xi的影响，可以等指标。表1:各变量之间的相关系数身高x1手臂长x2上肢长x3下肢长x4体重x5颈围x6胸围x7胸宽x8身高x1

8、1．000手臂长x20．8461．000上肢长x30．8050．8811．000下肢长x40．8590．8260．8011．000体重x50．4730．3760．3800．4361．000颈围x60．3980．3260．3190．3290．7621