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1、第22卷第5期大学数学Vol.22,.52006年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2006对矩阵初等变换应用中某些问题的探讨吴燕,黄国荣(广东轻工职业技术学院,广东广州510300)[摘要]运用初等变换的正确步骤可以减少计算量,现行用初等变换求向量组的一个极大无关组的两种方法,各有所长,文[5]的批评是不全面的.[关键词]初等变换;极大无关组;层高[中图分类号]O151.21[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2006)05-0124-05矩阵的初等变换在建立线性代数理论中起着很重要的作用,它们是:(i)互换第i行(列)及第j行(列
2、),记作rirj(cicj),其对应的初等矩阵记为P(i,j)(这种记法是现行教材的通常记法).(ii)第i行(列)乘以非零常数c,记作ric(cic),其对应的初等矩阵记为P(i(c)).(iii)第j行(i列)的k倍加到第i行(j列),记作rjk+ri(cik+cj),其对应的初等矩阵记为P(i,j(k)).现行线性代数教材中,初等变换一般有四种应用:1.求矩阵或向量组的秩,这时,行变换列变换可同时进行;2.解线性方程组,这时只能用行变换;3.标准化二次型,这时行列初等变换的使用有特定的方式;4.求向量组的极大无关组,有人用行变换,有人用列变换,产生了分岐,本文就此作一些
3、讨论,并介绍了一种省时的运用初等变换方法,另外也给出一种可逆矩阵的初等矩阵分解,它比文[5]更精细.1用初等变换求极大无关组有向量组1,2,,n,求其一个极大无关组.目前通行的教材上有用初等变换求一个向量个数有限的向量组的极大无关组时,有两种方法:这里将这两种方法分别记为行法(H法)和列法(L法).[1-2]H法:在上世纪90年代前的教材多用此法.作矩阵A,A的行向量就是1,2,,n,用行的初等变换将A变成阶梯矩阵,阶梯矩阵的非零行所对应的向量就构成了向量组1,2,,n的极大无关组.这里不宜作互换两行的初等变换,若进行了互换两行的变换,求极大无关组的方法见下例.
4、[3-4]L法:作矩阵A,将1,2,,n分别作为A的列向量,用行的初等变换将A变成阶梯矩阵,阶梯矩阵的非零行首非零元(从左至右数,非零行的第一个不为零的元素称为该行的首非零元)所在的列对应的向量就构成了向量组1,2,,n的极大无关组.若进一步将A化为简化阶梯矩阵(一个阶梯矩阵,若非零行的首非零元都是1,且首非零元所在列的其余元素均为零,这个阶梯矩阵称为简化阶梯矩阵),这时每一列的元素(除掉阶梯矩阵下方零行的元素外)即为用极大无关组表示该向量的表示系数.例求下列向量组的极大无关组[收稿日期]2004-07-19第5期吴燕,等:对矩阵初等变换应用中某些问题
5、的探讨1251=(1,1,1,0),2=(1,1,0,0),3=(3,3,2,0),4=(1,0,0,0),5=(3,2,1,0).解H法.作矩阵1111011102110000-10A1=3=3320A2=00-10410000-1-10532100-1-20111011100-1-100-1-10r2r400-10A3=B1=00-10.00-10000000-1000000-1-20B1是阶梯矩阵,因为在A1化为B1的过程中用了变换r2r4,所以对B1再作变换r2r4.11100000r2r4B1C1=00-10.0-1-1000
6、00C1的非零行对应向量1,3,4,故1,3,4是极大无关组.矩阵A2的第2行由A1的第1行乘-1加到第2行得到,故A2的第2行向量(0,0,-1,0)=2+(-1)1,故H法的思路比较直观,易为学生接受,每一次变形都把向量之间的关系表述出来,但通常教材都不给出H法正确性的解释.L法.作矩阵113131131311302000-1-1TTTTTA=(1,2,3,4,5)=102010-1-1-1-2000000000011313b11b12b13b14b15r2r30-1-1-1-20b22b23b24b25=B=.000-1-1000b34b350000
7、000000B是阶梯矩阵,其非零行的首非零元分别在第1、2、4列,故1,2,4是极大无关组.进一步将B化为简化阶梯矩阵1020101101BC=.0001100000由于C的第3列非零行的三个元素为2、1、0,它们分别乘1,2,4就得到3,3=21+12+04.同样5=11+12+14.L法的思路不似H法明显,由于解线性方程组AX=b就是求用系数矩阵A的列向量表示向量b的表示系数,故从解线
