Hilbert空间上公共不动点的强收敛定理

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1、第34卷第3期2016年6月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIONUNIVERSITYOFCHINAV01．34No．3June2016Hilbert空间上公共不动点的强收敛定理何松年，杨卓(中国民航大学理学院，天津300300)摘要：提出了一种非扩张映像有限族公共不动点的迭代算法，并证明了其强收敛性。作为此结果的推论．得到两种最小范数公共不动点的迭代算法。此结果是He等人结果的推广。关键词：Hilbert空间；公共不动点；最小范数公共不动点；强收敛中图分类号：0177．91；

2、0241．7文献标志码：A文章编号：1674—5590(2016)03—0062-03StrongconvergencetheoremsforcommonfixedpointalgorithminHilbertspacesHESongnian，YANGZhuo(CollegeofScience，CAuc,Tianjin300300，China)Abstract：Akindofalgorithmforcommonfixedpointoffinitenonexpansivemappingsispropo

3、sed，andthestrongconvergenceisalsoproved．Asanapplicationofthisresult，twoalgorithmsforminimumnormcommonfixedpointareachieved．ResearchresultofHeandhiscolleguesisextended．Keywords：Hilbertspaces；commonfixedpoint；minimumnorlncommonfixedpoint；strongconvergenc

4、e1引言和预备知识假设C是Hilbert空问日的一个非空闭凸子集，称丁：c_c是非扩张映像，若V菇，Y∈C，II死一研

5、

6、≤忪一YI

7、成立。丁的不动点全体记作Fix(T)，假设硪(丁)≠彰。众所周知，对于任意戈∈H，在C中都存在唯一一个点，记作R名；满足Vy∈C，№一R戈J

8、≤忆一YJI，称Pcx为戈到C上的度量投影，称映射Pc：石_Pc戈为日到C的投影算子，Pc为非扩张映像。为符号简明起见，将分别用一和一表示日中点列的强收敛和弱收敛。文献[1]中，He等人给出了一个强收敛定理来计算Pcn，其中VU

9、∈H任意取定，C是有限个凸函数水平集的交，即C≮协∈H：C。(z)≤0)，i=1，2，⋯，m，其中m是一个正整数，ci：日_÷R是凸函数。定理1给定u∈H，任取一初始点妒∈H，序列妒)cC由下面格式给出矿“=A彬+(1一A。)囊⋯Pc2pkl矿n≥o其中Co=缸∈H：ci(曩一一Pc2Pc：矿)≤(￡，吃一一Pc：曩矿一石))Ci：日-÷R是凸函数，在日上次可微，并且次微分aci是有界算子；￡∈Oci(吃一。‘曩囊矿)；江1，2，⋯，m。假设序列{A。)c(o，1)，若A。ho(n_÷∞)，∑。A。

10、：+∞，则妒)强收敛于Pc，nC2M。本文目的是把这一定理推广到求有限个一般非扩张映像的公共不动点。为证明主要定理，需要下面几个引理。引理1设日为实Hilbert空间，则下面的等式成立【1】

11、

12、AM+(1一A)秽

13、

14、2=AI

15、M

16、

17、2+(1一A)

18、

19、秽

20、I2一A(1一A)0配一V

21、

22、2其中：M，z)∈H，A∈(0，1o引理2设目为实Hilbert空间，则下面不等式成立【l】收稿日期：2015—05—14；修回日期：2015—09—04基金项目：天津市重点实验室开放课题(1040030603)；中国民

23、航大学研究生项目(Y15—25)作者简介：何松年(1963一)，男，山西太原人，教授，博士，研究方向为非线性分析理论、算法及其应用．第34卷第3期何松年，杨卓：Hilbert空间上公共不动点的强收敛定理一63一

24、

25、戈+y

26、

27、2≤

28、Iz

29、I2+2(y，戈+y)引理3设C是Hilbert空间日的非空闭凸子集，则对戈∈H和彳∈C，石=Pc戈等价于【2】(z—z，y一石)≤0，Vy∈C。引理4设C是实Hilbert空间日的非空闭凸子集，r：C。C非扩张映像，如果‰)CC满足戈。一z并且lI‰一Tx。1

30、_÷

31、0，那么有如下结果【3】：z=Tz。引理5假设{s。)是非负实数列，满足s。+1≤(1—7。)s。+y。6。n≥0(1)s。+1≤s。一r／。+Otn凡≥0(2)如果{7。)c(0，1)，{叼。)是非负实数列，{蠡}[R，{a。)cR，使得i)∑。．％：∞；ii)lim。．+。a。=0；iii)lim卜。叼～=0蕴涵lim^～sup6凡≤0，V{‰)c{几)，男B么【4】，lim，一s。=0。2主要结果定理2设C为实Hilbert空间日的非空闭凸子集，∽：c_c)，i