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1、椭圆综合题练习22xy1.设AB,分别为椭圆+=>>10()ab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它22ab的右准线.(1)求椭圆的方程；(2)设P为右准线上不同于点()4,0的任意一点，直线APBP,分别与椭圆交于异于AB,的点MN,.y①若P()4,3，求BMBP⋅的值；②求证：点B在以MN为直径的圆内.P22xy解：(1)椭圆的方程为+=1M435A(2)①2Bx②由(1)得AB()()-2,0,2,0，设Mxy()00,NM点在椭圆上223=-yx()4①004又点M异于顶点A，
2、B，-<22x<，由P，A，B三点共线可得0æöç6y÷æöç6y÷ç0÷=ç0÷P4,，从而BM=-()x2,y，BP2,ç÷00ç÷çèøx+2÷çèøx+2÷006y22022⋅=-BMBP24x+=()x-43+y②000xx++22005将①代入②，化简得BMBP⋅=-()2x0220->x，⋅>BMBP0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角0故点B在以MN为直径的圆内22xy2.已知椭圆+=1，过点F()1,0引两条互相垂直的直线
3、l，l与椭圆分别交于A，C与B，D1243点，求四边形ABCD面积S的取值范围.解法一(目标函数法)1当l，l中有一条直线的斜率不存在时，AC=4，BD=3，则SA=⋅=CBD6；12ABCD21当l，l斜率都存在时，不妨设l的斜率为k，则l的斜率为-，设Axy(),，Bxy(),12121122kìïyk=-xkïïïl的直线方程为ykx=-(1)，联立íxy22，消去y，得到1ïï+=1ïïî432y22228k()34+-+kx8kxk41-20=，所以xx12+=2，D34+k2112+12k所以AC=´-22()
4、x+=x，C2312+4k2l1(由焦半径公式或弦长公式得到)，同理可得OFx2+-æöç1÷B1212ççèøk÷÷12k2+12BD==l2æö1234k2+A34+-çç÷÷çèøk÷21112++12kk221212()1+k2所以SA=⋅=CBD⋅⋅=72⋅ABCD222223++4kk34()4334++kk22()2令tk=+1，则t>1，22tt11记Sf==⋅()t72=⋅72=⋅72=⋅72ABCD314112211111429()tt+-()t+t-æö12+---+ç÷2ç÷ttçèøt24÷2因为
5、1Î()0,1，--+Îæöçç114÷9æù12,49ú，所以ft()Îéê288,6ö÷；tèøççççt244÷÷èúê49÷÷øûëé288ù综上，四边形ABCD面积的取值范围为ê，6ú.êë49úû22æöxyç6÷3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22+=>>10()ab的焦距为2，且过点çç2,÷÷.abçèø2÷÷(1)求椭圆E的方程；(2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，过点M垂直于PB的直线为m.求证：直线m
6、过定点，并求出定点坐标.23解：(1)由题意得，22c=，所以c=1，又+=1，22ab242221消去a可得，2530bb--=，解得b=3或b=-(舍去)，y2222xy则a=4，所以椭圆E的方程为+=1.43(2)设Pxy(),11My1直线BP的斜率为k=2x1-2P2-x1直线m的斜率为k=，my12-x1A则直线m的方程为yy-=()x-20OxyB12-xyx=-1()2+yl0ym124-xy22()-x111=-+xyyx+2111222-x24()xy11-+41=+xyx()+2y1112222--x
7、x24()xx11-+-1232-x2-x1111=+xx=+=+()x1，yx()+2yyyy111111所以直线m过定点()-1,0.4.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：yk=+¹xmk(0)与椭圆交于不同的两点M，N(M，N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.解：(1)设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则ìï22c=ïïìïa=2ïïí223b=，解得í，ïï222ïïîb=
8、3ïïîabc=+22xy∴椭圆C的标准方程为+=143ìïxy22ïïï+=1(2)由方程组í43消去y，得ïïïïîyk=+xm222()34+++kx8kmxm4-120=.22222由题意∆=-()84km()3+4k()41m-2>0，整理得34+->km0①28km41m-2设Mxy(),，
