波动方程解的Poisson公式的降维问题

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1、万方数据第25卷第6期2009年12月大学数学C()LLEGEMATHEMATICS波动方程解的V01．25。No．6Dec．2009Poisson公式的降维问题王经民，刘亚相，刘迎州，柳建军，赵斌(西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100)[摘要]利用微元法从i维和二维波动方程的Cauchy问题的Poisson公式解得到一维波动方程的Cauchy问题的D’Alembert公式解．[关键词]波动方程；微元法；降维法[中图分类号]0175．23[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2009)06—0152—03数学物理

2、方程是大学工科许多专业学生的必修课，波动方程又是该课程的重要讲拨内谷之一．利用降维法可以得到三维波动方程的Cauchy问题等甜＼攒3Zu‰,3Zu：_‰OZu。、J，万一n‘＼a工2。av2’a22J’甜

3、f=0一伽(z，y，z)，(1)Oua。lt=O一州x,y,z)的Poisson公式解“一去(岳Ⅱ裹ds+f心--ds)，㈤这里S磐表示以M(x，Y，z)为球心，at为半径的三维球面．利用曲面积分的计算方法得到二维波动方程的Cauchy问题雾甜I攒OZuw,3Zu)，“

4、f；o一伽(z，y)，(3)雾l—pl(z，y)瓦L—p八

5、西川的Poisson公式解础啪沪去(岳题而等磐斋+题而警磐旁)’(4)这里D等表示以M(x，y)为圆心，半径为at的圆域．要从三维波动方程的Poisson公式解直接降维得到一维波动方程的Cauchy问题a2U。a2U万一旷3～xe'Hh=伽(z)，(5)塑3tl一卿(z)l剐"”7[收稿日期]2007—05—15；[修改日期]2007—09—02万方数据第6期王经民，等：波动方程解的Poisson公式的降维问题153“一虿1(伽(卅z)+伽(at--a：))+去仁州洲亭，通过曲面积分的物理意义和定积分的微元法得到．曲面积分丌《由因

6、果关系(表示为(6)掣ds的物理意义是球面s翟的面密度为学的质量．这里我们看到问题自由项，初始条件都与Y，z无关，从而解U也与Y，z无关)，记扎(z，y，2，￡)一U(z，￡)，等甜I攒3Zu4协_OZu㈡,322u。)，UI。；o一伽(z)，au]。2妒-(z)，这是一个特殊的三维问题．可以对U应用Possion公式，从而得到下面的(7)．球面时，同一圆环的密度为常数，这样球面的质量可以看成e轴上球面直径的质量，直径上的质量微元为盟半与球带面积微元ds一2嬲￡畦(如‘‘‘右图，可以通过两球冠面积之差或区间[d，印上平面曲线绕坐标

7、轴旋转而成的旋转体侧面积公式r2丌厂(z)~／n彳77研dz[3]得到)乘积鼍导2丌n￡曲一2万伽(亭)d车．应用定积分的微元法，有对9。有同样的结果．将其都代入(7)式，即可得到一维波动一维波动方程的Cauchy问题的D’Alembert公式解(Poisson公式解(4)得到．一维波动方程的Cauchy问题的D’Alebert公式解(6)方程的D6)也可以是二维波(7)(常数)截’Alembert公式解(6)．由二维波动方程的Cauchy问题的动方程的Cauchy问题解，所以础∽2掷题而警凳丽+题而等碧丽)。(8)而二重积分表示

8、区域。篡上曲顶为了乒尹三嚣竺舅‰的曲顶柱体的体积．用导一“常数)截该曲顶柱体后所得的截面面积为7r伽(e)，这是因为，篇≥丽磊等等事一[，游一㈣·J一刀丽石孕=趸亏矿j孑弓FJ一，石仁了“炉屿“盟丽毒等专事一．-q-at坳㈣心姥石可iF面【耵“"“～”、，、，∞∞吼_、仅啦一驴《撕S酊‰牺磐麟9J兜俨《蝴旦巩。化卜关伽丌卉一—S哮阿刖彤丌埘嘭万方数据似查兰兰竺——』竺兰=忑I磊磊磊磊忑磊磊五磊程的D'Alembert也是亭型区域)．对弘有同样的结果，将其都代入‘8’式’即刚。借到一班双驯川出”馘嚣⋯⋯Otsson公式等藩荔芦激㈩a

9、2‘一。。，丝+翟+2、，万一口laz2。ay⋯az2厂f*)警L砷㈤，与挑。a2“雾甜雾，⋯，aul一驴l(z)．3tl，o’‘(*)⋯一量竺篡蔫茹攀≤萃荨出∞刮剐涵沪去(划警邯+盟等龋)’应用坐标变换车：z+口￡sin臼c。5垆，刁：y+c￡￡si硼c。s驴，％-一-zq-atcosO，森面的面积元ds=(口f’2sin口d甜妒’础啪州，；列1瓦3夏哮as+盟哮娟)：去瓤卜北⋯一仙)妒去眦at鼽(z+atcosO)sinOdO)却；一瓦1瓦3f伽c名+ncc。s日，dcz+ntc。s日，一麦『：驴-(z+以c。s∞d‘z+“c

10、。的’；去岳仁q，o(v)dv+去aIZ州um；1(，Oo(z棚)+北～))+去』：“洲锄‘{支就是一维波动方程的D，Alembert公式．[1][2][3][参考文献]儿哪删渤删毗溉麓嚣鲫牝呲积瓤脚删鬈渊麓波动方程解的Poisson公式的降维问题