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1、2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若，则a=______，b=______.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)¹0，则.(3)设，则.(4)二次型的秩为.(5)设随机变量服从参数为的指数分布,则_______.(6)设总体服从正态分布,总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简单随机样本,则.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项
2、符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[](8)设f(x)在(-¥,+¥)内有定义，且，，则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[](9)设f(x)=
3、x(1-x)
4、，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值
5、点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[](10)设有下列命题：(1)若收敛，则收敛.-100-(2)若收敛，则收敛.(3)若，则发散.(4)若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[](11)设在[a,b]上连续，且，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点，使得>f(a).(B)至少存
6、在一点，使得>f(b).(C)至少存在一点，使得.(D)至少存在一点，使得=0.[](12)设阶矩阵与等价,则必有(A)当时,.(B)当时,.(C)当时,.(D)当时,.[](13)设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[](14)设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,若,则等于(A).(B).(C).(D).[]三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)求.(16)(本题满分8分)-100-求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足，xÎ[a,b)，.证明：.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格PÎ(0,20)，Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性(>0)；(II)推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分9分)设级数的和函数为S(x).求
8、：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设,,,,试讨论当为何值时,(Ⅰ)不能由线性表示;(Ⅱ)可由唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)可由线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.(21)(本题满分13分)设阶矩阵-100-.(Ⅰ)求的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角矩阵.(22)(本题满分13分)设，为两个随机事件,且,,,令求(Ⅰ)二维随机变量的概率分布;(Ⅱ)与的相关系数;(Ⅲ)的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量的分布函数为其中
9、参数.设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ)当时,求未知参数的矩估计量;(Ⅱ)当时,求未知参数的最大似然估计量;(Ⅲ)当时,求未知参数的最大似然估计量.-100-2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若，则a=，b=.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a=1.极限化为，得b=-4.因此，a=1，b=-4.【评注】一般地，已知＝A，(1)若g(x)®0，则f(x)®0；(2)若f(x)®0，且A¹0，则g(x)®0
10、.(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)¹0，则.【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v)=，所以，，.(3)设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x-1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x-1=t，
