平衡空间到模态空间的反映射模型降阶方法

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1、2012年12月第6期中国空间科学技术ChineseSpaceScienceandTechnology平衡空间到模态空间的反映射模型降阶方法曹丽周志成曲广吉(中国空间技术研究院，北京1。0094)摘要针对内平衡降阶方法物理意义不清晰，平衡坐标无法由传感器直接测量的问题，文章基于柔性航天器动力学模型，提出了通过反映射实现平衡空间到模态空间的模型降阶方法。利用状态空间线性变换传递函数和特征值的不变性，通过平衡降阶模型零极点传递函数获得了与原系统相对应的特征频率，给出了平衡降阶模型与原模态子空间的映射关系，成功

2、构造了反映射矩阵。频率响应及可控可观性分析结果显示，模态子空间降阶模型能够准确找到与原模型相匹配的状态变量，物理意义清楚，便于控制系统使用。关键词内平衡降阶模态子空间反映射矩阵零极点传递函数可控可观性柔性航天器DOI：10．3780／j．issn．1000—758X．2012．06．0011引言现代复杂航天器所带柔性附件较多，系统基频低且频率密集，甚至有时出现重频，为了准确描述其柔性特征，在动力学建模过程中，柔性体的弹性位移通过模态展开法引入了模态坐标，使得动力学模型阶数过高，内平衡方法是解决这类频率密集

3、系统模型降阶问题的有效途径[1≈]。然而，内平衡降阶模型虽然保留了系统最可控最可观的状态，但与原状态的表现形式完全不同，且内平衡状态无法通过物理传感器直接测量，给控制系统使用带来一定困难。多年来，文献中已多次提到该方法的不足，但甚少对此作深入研究[3-6]。其中最具代表性的是文献[4]提出的以传感器和作动器的分布为依据选择原空间需要保留的状态，通过构造反变换矩阵，将内平衡降阶模型以原状态的子集表示。但对于复杂系统，这些状态的选择仍然具有一定随机性，反变换矩阵也可能出现奇异。本文针对已有研究的局限性和实用性

4、，深入研究了平衡空间到模态空间的反映射模型降阶方法，基于严格的状态空间线性变换理论，构造了平衡降阶系统到原模态子空间的反映射矩阵，获得了物理概念清晰的降阶模型，并通过典型算例，验证了本文方法的理论正确性和工程实用性。2柔性航天器动力学方程采用基本的柔性航天器系统作为模型降阶的研究对象来验证本文方法，见图1。对其简化处理，将中心体作刚体处理，仅考虑太阳阵的振动。采用Lagrange方法，建立柔性航天器动力学模型为收稿日期：2012一05一08。收修改稿日期：2012一07一04图1柔性航天器示意Fig．1S

5、ketchofflexiblespacecraft；主垦窒回型堂堇查!!!!生!!旦』ⅥX+Ftl。’，l。+F。t，，。一P，I。∞b+F出t，l。+F。t，，。一IT，⋯叩l。+AI。f，I。+F6。X+Fj。∞b一0，t，，。+A，。t，，。+F占。X+F：，。∞b—O考虑系统输入输出和阻尼，可得系统等价的、完整的动力学模型为M口+Dq+Kq—BH，y—Cdq+C，g(2)式中M、I。为航天器的质量阵与惯量阵；F如、F。和F出、F。分别为双翼太阳阵振动对航天器平动和转动的柔性耦合系数矩阵；A¨A，。

6、为太阳阵模态频率平方的对角阵；x、∞。分别为航天器的平动位移和转动角速度；t，⋯tI-。分别为双翼太阳翼的模态坐标；P、T分别为作用在星本体上的外力和外力矩；M、D、K表示广义质量阵、阻尼阵以及刚度阵；q一[xT∞jl，l，，三]7为系统广义坐标；“一[PTr0o]7为系统控制输入；豆为H的分配矩阵；岁是系统观测输出；e。、0，分别为位移和速率的观测矩阵。对式(2)求解特征值，利用得到的系统模态阵①将式(2)变换到模态空间：叩。一西：B“，印。+2考。国。q。+∞：q。一垂!踟(3)y—y。+y。一Cd①

7、。吼+C。①。t，。+Cd①。t『。+C，垂。叩。(4)式中嚷与t，。分别为系统刚体模态及其模态坐标；垂。与’，。分别为系统弹性模态及其模态坐标；考。一diag慨，⋯，毒。)为模态阻尼比，∞。=diag{∞，，⋯，∞。}是非零自然频率。可见，系统模态下，航天器刚体运动与柔性结构振动已经解耦。将式(3)中的第二式和式(4)写成标准状态空问方程为主一缸+助，y—Q(5)式中x一[；，叩。⋯j。'7。]T；A—diag(A：)；B一[m：o]7面一[B}⋯Bj]T；c—ce，e。]西。一cc。⋯c。]；A：一I

8、一芋川￡一f；l；B；一[：]；e—cc。c击]。式(5)为模态空间下的状态方程，状态x取咒阶，共2九个状态变量。3状态空间线性变换原理3．1内平衡降阶方法内平衡模型是指系统的可控性Gram矩阵与可观性Gram矩阵相等且对角化，即有W。一W。：=diag{盯l，盯2，⋯，盯。)(6)式中盯，≥口。≥⋯≥盯。≥o，称为Hankel奇异值，反映出相应状态变量的重要程度。作线性变换主一戤，将式(5)转换成内平衡形式：A—TAT～，台