串并联电路的可靠性问题

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1、串并联电路的可靠性问题乐安县第二中学何小英随着科学技术的发展，串、并联电路在日常生活及生产中时常可见。下面我们用概率知识来研究串、并电路工作的可靠性问题。一、简单串、并联电路正常工作的概率ABC例1如图1，用A、B、C三种不同(N1)ABC的元件连接成两个系统：串联系统N1和并联系统N2，当元件A、B、C正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9时，分别求出N1、(N2)N2正常工作的概率。分析与解系统N1是串联，A、B、C图1相互独立，只有同时工作N1才会正常工作，记其为事件A·B·C，根据相互独立事件同时

2、发生的概率计算公式，所以P（N1）=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.7×0.8×0.9=0.504系统N2是并联电路，A、B、C只要至少有一个正常工作，则系统N2就能正常工作，正常工作的事件有：A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C，A·B·C共七种，它们彼此为互斥事件P（N2）就等于这七种事件的概率之和，而这七种事件的对立事件有A·B·C一种。∴P（N2）=1－P（A·B·C）=1－P（A）·P（B）·P（C）=1－（1－0.7）（1－0.8）（1－0.9

3、）=1－0.006=0.994可见并联电路比串联电路工作可靠性要大得多，譬如收音机或电视机电路里的桥式整流电源电路及推挽输出电路等都是比较可靠的工作电路。对于多个元件组成的串联电路或并联电路的可靠性问题，仿照例1的计算方法类似地可计算出其正常工作的概率。因此例1给我们解决串、并联电路正常工作的概率问题提供了一种解题模式：就是串联电路正常工作的概率等于各元件正常工作的概率之积；并联电路正常工作的概率等于1减去各元件不能正常工作的概率之积的差，这样两个电路可靠性简单模型是我们今后研究复杂电路可靠性的基础。二、串、

4、并联混合电路正常工作的概率ABCD例2用4个相同的元件连接成如图2所示的两种电路系统N3，N4，(N3)每个元件正常工作的概率都为ABCDP（0＜P＜1＝，分别求出这两种电路系统正常工作的概率，并比(N4)较它们的大小。分析与解对于该例我们必图2须先整体考虑，看整体上是属于例1中的两种类型的哪种类型，不难得出整体上N3是由部分电路A、B与C、D组成的串联型电路，N4整体上是由部分电路A、C与B、D组成的并联型电路。对于电路系统N3，部分电路A与B及C与D各自组成并联电路，于是电路A与B正常工作的概率为1－P（

5、A·B），部分电路C与D正常工作的概率为1－P（C·D）。∴P（N3）=[1－P（A·B）][1－P（C·D）]=[1－P（A）·P（B）][1－P（C）·P（D）]=[1－（1－P2）]2=P2（2－P）2对于电路N4，A与C不能正常工作的概率为1－P（A·C），B与D不能正常工作的概率为1－P（B·D），∴P（N4）=1－[1－P（A·C）][1－P（B·D）]=1－[1－P（A）·P（C）][1－P（B）·P（D）]=1－（1－P2）2=P2（2－P2）∵P（N3）－P（N4）=P2（2－P2）－P2（

6、2－P2）=2P2（1－P2）＞0，∴系统电路N3正常工作的概率大。1C上面可得出处理串并联混合电路的规律：理解掌握两个串、并联电路的基本类型是关键，整体识别类型，分部计算概率。3C例3如图3为继电器接点电路，假设每个接点闭合的概率为0.9，C12C24C各接点闭合否相互独立，求A至BD2D1C是通路的概率。AB6C5C分析与解设每个继电器接点闭合的概率为P，则P=0.9，A至BE1E2由C1至C2，D1至D2，E1至E2三条图3线路并联而成，设该三条线路通路的概率分别为P1、P2、P3。C1至C2通路的概率

7、是P1=[1－（1－P）（1－P）]·P=P－P（1－P）2=－P3＋2P2D1至D2通路的概率是P2=P，E1至E2通路的概率中P3=P，A至B不通的概率是（1－P1）（1－P2）（1－P3）=（1＋P3－2P2）（1－P）（1－P2）=P6－3P5＋P4＋4P3－3P2－P＋1。∴A至B通路的概率是1－（1－P1）（1－P2）（1－P3）=－P6＋3P5－P4－4P3÷3P2＋P。=0.997929。