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1、曇麓学术论文探究二元一次不定方程(InquiresintotheduaIindefiniteequation)姓名所在学院专业班级学号扌旨导教师日期【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程常常化为二元一次不走方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。Thedualindefiniteequationisthesimpletheindefiniteequation,somecomplexindefiniteequationschangeintothedualindefiniteequationquestiontosolvef
2、requently.Wediscussthedual1inearequationtheintegersolution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解(DualindefiniteequationPrimarytheoryofnumbersIntegersolution)二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具冇两个未知数；③未知项的次数是1。如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次
3、数都是1,但是未知项4xy的次数是2,所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。定理1.形如址十如N(务加疋益“不同吋为零)的方程称为二元一次不定方程。[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y二3变形为x二3+2y,然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。定理2.方程有解的充要是[2]若且
4、兀亠为*切"的一个解，则方程的一切解都可以表示成:（t为任意整数）定理2的扩展•〒元一次不定方程幻为十5"・十5”，（叫％・・・•％"“）有解的充要条件是佃•幻・・・・心）1「方法与技巧：1.解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求«4-Ar=^-个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大吋，有吋可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2.解弓元一次不定方程咛T"巧十…十*“时，可先顺次求出@斗）=£■血砂Nb,……，若心―,则方程无解；若％X，则方程冇解，作方程组：a1xl+aaxJ=dA■■■■■■■■■
5、■■■-皿4*%耳=£求出最后一个方程的一切解，然后把J的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即口J得方程的一切解。对于解不定方程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常化为二元一次不定方程问题加以解决，设a,b,c,d为整数，则不定方程ax+by=c有如卜.两个重耍命题：（1）若（a,b）二d,Jid不等于c,则不定方程ax+by=c没有整数解。（2）若Xo,Yo是方程ax+by二c且（a,b）二1的一组整数解（称特解）,则x二Xo+bt,（t为整数）求：方程5x-3y=-7的止整数解.解：原方程X二(
6、3y-7)/5即X二-2+[3(y+l)]/5(1)Y二4时，x=l即X二1Y二4为原方程的一组整数解，因此，原方程的所冇整数解为X=l-3k(k为任意整数)Y二4-5k再令X大于0,y大于0,即有不等式组l-3k大于04-5k大于0解得K小于1/3,所以当k取0,-1,-2,…时原方程可得到无穷多组正整数X二l-3k(k二0,-1,-2,…)Y二4-5k题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405,将前三位组成的数雨后五位相加得16970,求这个人家中的电话号码。解：可将两个已知条件变为两个方程，用方程只是去解决。
7、关键是怎么样设未知数，不妨将abcdefgh的abc设为x；d设为y,efgh设为z可以很快构造出方程组。设电话号码是10000x+10000y+z,其中x,y,z均为自然数,且100WxW999,0WyW9,IOx+y+刁二14405.1000WzW9999,则x二10000y+z二16970。②-①化简得lllly-x=285,即lllly=x+285.7100^x^999,・・・385Wx+285W1284。・•・385/1111WyW1284/1111又Ty为整数・・・y=l,x=826,刁二6144即此电话号码为82616144.例：(1)求
8、方程15x+52y二6的所冇整数解。(2)求不定方程5x+7y二978的正整数解的组数。解：对
