2.1 曲面的基本概念

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1、第二章曲面的局部几何性质x2.1曲面的基本概念2.1.1曲曲曲面面面1.参数表示设D½R2是一开区域,用(u;v)来表示平面R2内点的坐标.有一个从D!R3内的1-1映射,记作r:D!R3,如果用(x;y;z)表示R3中点的笛卡尔直角坐标,则此映射的表达式为8>>>>>:z=z(u;v);其中x(u;v);y(u;v);z(u;v)都是u、v的可微函数.在这个映射下,D的像集构成空间R3中的一张曲面S.我们把(u;v)称为曲面S的参数,(

2、1)式称为S的坐标式参数方程.以后我们经常把曲面的坐标式参数方程写成向量式参数方程,即r(u;v)=fx(u;v);y(u;v);z(u;v)g:当函数x(u;v);y(u;v);z(u;v)2Ck(k¸1)时,称曲面是Ck¡曲面.给定一对(u;v)2D,确定三元组(x(u;v);y(u;v);z(u;v)),从而得到曲面上一点P.而r(u;v)正是P点对应的径矢.因此(u;v)也称曲面的曲纹坐标或局部坐标.(x;y;z)为曲面上点的空间坐标.在用参数表示的曲面中,用曲纹坐标比空间坐标方便.【注1】

3、曲线和曲面都看成一个映射在R3内的像集.但是曲线方程中只有一个参数,它的取值是在R1上的一个区间内,而曲面是有两个独立参数,它的取值是在平面R2内的一个开区域内.【例1】球面x2+y2+z2=a2有如下三种参数表示:(1)直角坐标系下的参数表示pr(x;y)=fx;y;a2¡x2¡y2g;其中D=f(x;y)jx2+y2

4、>><0=Rcosucosv=0¢cosv;0=Rcosusinv=0¢sinv;>>>:R=Rsinu;可见,北极点对应的参数:u=¼,而v可以任意取

5、值于(0;2¼).2同样在表示南极时,u=¡¼,而v可以任意取值于(0;2¼).故不是1-1对应.因此要限2制u2(¡¼;¼),而v2(0;2¼).22由此可见,按我们的方法定义的曲面,只表示了曲面的一部分,或者说只定义了一个曲面片.这对研究曲面的局部性质来说是完全足够的.但有时我们要讨论整个曲面的性质,例如,研究整个球面或椭球面等的性质,上述定义方法就不能满足要求.关于如何给出曲面的整体定义或者说整体表示,要用坐标邻域来覆盖,这正是大范围微分几何中微分流形概念的引入.(3)球极投影坐标表示球面x2

6、+y2+z2=a2上除北极以外任意一点(x;y;z)与北极N(0;0;a)的连线,它与³´xoy平面交于惟一一点ax;ay;0,或者说,xoy平面上任一点(u;v;0)与北极的连线交a¡za¡z球面于惟一一点µ¶2a2u2a2va(u2+v2¡a2);;:u2+v2+a2u2+v2+a2u2+v2+a2如图2.因此映射½¾2a2u2a2va(u2+v2¡a2)r(u;v)=;;u2+v2+a2u2+v2+a2u2+v2+a2给出了球面(去掉北极)的一个参数表数,称为球面的球极投影参数表示.55【例2

7、】正螺面(两条互相垂直的直线,其中一条绕另一条既作等速转动,又作等速直线运动所生成的曲面)的参数表示为r(u;v)=fvcosu;vsinu;bvg;¡1

8、点的径矢r(u0;v0).现在固定其中一个参数,而让另一参数变.如令u=u0,(即固定参数u),而让v在其定义域内变动,得到r(u0;v)=fx(u0;v);y(u0;v);z(u0;v)g;这是曲面S上一条曲线,简称v¡曲线.对不同的u0,v-曲线组成曲面上一族曲线,称v¡曲线族.再令v=v0,(即固定参数v),而让u在其定义域内变动,得到r(u;v0)=fx(u;v0);y(u;v0);z(u;v0)g;这也是曲面S上一条曲线,简称u¡曲线.对不同的v0,u-曲线