典型例题：抛物线问题

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1、抛物线问题典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）（2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．典型例题二例2若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：

2、由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．解法一：设、，则由：可得：．∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．，故或（舍去）．则所求直线方程为：．典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为．如图所示，只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：在直角梯形中：，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相

3、切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点．则有：，即（2），底边长为，∴三角形高∵点P在x轴上，∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5已知定直线l及定点A（A不在

4、l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明且即可．证明：如图所示，连结PA、PN、NB．由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有．则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．典

5、型例题六例6若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：．分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，则有,．若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：，且设．由得：①②根据抛物线定义有：则请将①②代入并化简得：证法二：如图所示，设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，又∽，即故原命题成立．典型例题七例7设抛物线方

6、程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为．分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线的焦点为，过焦点的弦AB所在的直线方程为：由方程组消去y得：设，则又即证法二：如图所示，分别作、垂直于准线l．由抛物线定义有：于是可得出：故原命题成立．典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求（1）AB的倾斜角的取值范围．（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．分析：由已

7、知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得．故P到的距离，从而∴曲线C是抛物线，其方程为．设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点．∴k存在．设AB的方程为由可得：设A、B坐标分别为、，则：∵弦AB的长度不超过8，即由得：∵AB与椭圆相交于不同的两点，由和可得：或故或又，∴所求的取值范围是：或（2）设CD中点、、由得：则即．化简得：∴所求轨迹方程为：典型例题九例9　定长

8、为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离