数值计算大作业——刘

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1、课程设计课程名称：数值分析设计题目：数值计算大作业学号：S315070064姓名：刘峰完成时间：2015年10月25日题目一、非线性方程求根1.题目假设人口随时间和当时人口数目成比例连续增长，在此假设下人口在短期内的增长建立数学模型。（1）如果令表示在时刻的人口数目，表示固定的人口出生率，则人口数目满足微分方程，此方程的解为；（2）如果允许移民移入且速率为恒定的，则微分方程变成，此方程的解为；假设某地区初始有1000000人，在第一年有435000人移入，又假设在第一年年底该地区人口数量1564000人，试通过下面的方程确定人口

2、出生率，精确到；且通过这个数值来预测第二年年末的人口数，假设移民速度保持不变。2.数学原理采用牛顿迭代法，牛顿迭代法的数学原理是，对于方程，如果是线性函数，则它的求根是很容易的，牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程有近似根(假定)，将函数在点进行泰勒展开，有于是方程可近似地表示为这是个线性方程，记其根为，则的计算公式为，-11-这就是牛顿迭代法，简称牛顿法。3.程序设计作出函数的图像，大概估计出根的位置fplot('1000*exp(x)+(435*x)*(exp(x

3、)-1)-1564',[03]);grid大概估计出初始值x=0.5function[p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max1)%f是非线性系数%df是f的微商%p0是初始值%dalta是给定允许误差%max1是迭代的最大次数%p1是牛顿法求得的方程近似解%err是p0误差估计%k是迭代次数p0,feval('f',p0)fork=1:max1p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0);-11-err=abs(p1-p0);p0=p1;p1,err,k,y=feval(

4、'f',p1)if(err

5、(y==0),break,endp1,err,k,y=feval('f',p1)endfunctiony=f(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)-1)/x-1564000;functiony=df(x)y=1000000*exp(x)+435000*(exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2);4.结果分析与讨论在MATLAB中的commandwindow输入newton('f','df',1.2,10^(-4),10)运行后得出结果p0=0.500

6、0p1=0.1679err=0.3321k=1y=9.2415e+004p1=0.1031err=0.0648k=2y=2.7701e+003p1=0.1010err=0.0021k=3y=2.6953p1=0.1010err=2.0129e-006k=4y=2.5576e-006ans=0.1010运算后的结果为，通过这个数值来预测第二年年末的人口数，t=2时候对于实践表明，当初始值难以确定时，迭代法就不一定收敛了，因此要根据问题实际背景或者二分法先得一个较好的初始值，然后再进行迭代；再者迭代函数选择不合适的话，采用不动点迭代

7、法也有可能出现不收敛的情况；因此我采用的是牛顿法。-11-题目二：线性方程组求解1.题目假设一个物体可以位于个等距点的任意位置，当物体在位置时，它只能等可能的移动到或者，而不能直接移动到其他任何位置，概率表示物体从位置开始在到达右端点之前到达左端点的概率，显然，且有既有下面方程组：取对方程组进行求解（迭代法或者直接法）。2.数学原理在解微分方程的边值问题、热传导方程以及船体数学放样中建立的三次样条函数等工程技术问题时，经常遇到下面形式的线性方程组：=方程简记，该线性方程称为三对角线方程组，其系数矩阵A满足条件-11-所以为弱对角

8、阵可以采用追赶法进行计算，利用三对角矩阵的LU分解建立计算量更少的线性方程组求解公式。将系数矩阵A进行克劳特分解，即A分解为下三角矩阵和单位上三角矩阵的乘积；A==其中，，为待定系数，直接利用矩阵乘法公式可得，，，，，于是推得计算，，的公式，；，，；，；由此计算出L和U中的全部元素，完成了系数矩阵A的克劳特分解。求解线性方程组等价于求解和。因而得到解三对角线性方程组的追赶法公式(1)计算的递推公式：(2)解(3)解我们将计算系数和称为追的过程，将计算方程组的解称为赶的过程。整个过程为追赶法的思想。-11-3.程序设计functi

9、onx=chase(a,b,c,f)%求解线性方程组Ax=f，其中A是三对角阵%a是矩阵A的下对角线元素a（1）=0%b是矩阵A的对角线元素%c是矩阵A的上对角线元素c（N）=0%f是方程组的右端向量n=length(b);ifn-1==length(a)for