玻尔兹曼分布的严格推导

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1、DOI:10.16854/j.cnki.1000-0712.2015.03.005第34卷第3期大学物理Vol．34No．32015年3月COLLEGEPHYSICSMar．2015玻尔兹曼分布的严格推导12陈凌蛟，侯吉旋(1．东南大学吴健雄学院，南京211189;2．东南大学物理系，南京211189)摘要:在运用较高精度的斯特林公式基础上，利用拉格朗日不定乘子法，结合带拉格朗日余项的n元泰勒展开式，以兰伯特W函数的形式，给出了精度更高的一种玻尔兹曼最概然分布及其严格的理论推导，并附带给出较低精度的斯特林公式下的推导结果．此方法可以很容易推广到玻色分布和费米分布中去．关键词:玻尔兹曼分布

2、;拉格朗日不定乘子法;斯特林公式;n元泰勒展开式;兰伯特W函数中图分类号:O414．2文献标识码:A文章编号:1000-0712(2015)03-0060-06在统计物理中，对于玻尔兹曼最概然分布，通常秩与其系数矩阵的秩相同即可．都是使用拉格朗日乘子法，推导出需要的分布形式．2问题简化［1，2］但是一般教科书为了保留直观的物理图像而舍弃了推导过程中的严密性．例如在处理二阶导数时，注意f(a1，a2，…，an)的表达式中含有阶乘和指［3-5］和n元函数微分学的基本理论存在出入，使得数相乘，可以引入斯特林公式，寻找有效的近似方玻尔兹曼最概然分布的“最概然”3个字略显底气不［6］法．斯特林公式

3、的一种形式为足．这样的推导也许会让一部分初学者产生疑惑．111ln(n!)=nln(n)－n+ln(2πn)+－+…(2)3本文的工作，正是试图通过严格的数学方法，在理论212n360n上证明玻尔兹曼最概然分布的“最大概率”，保证玻在n较大的时候，若舍去高阶项，便可作出对ln(n!)［1，2］尔兹曼最概然分布的严格，使得初学者和教育者在的合理估计．例如，许多文献在研究玻尔兹曼分发现这个问题的时候有所参考．布时会采用下面的变形公式:ln(n!)≈nln(n)－n(3)1问题描述可以看出，式(3)是只用式(2)中的前两项的近似结为了让文章具有完整性，这里首先将玻尔兹曼果．如果把等式(2)中第

4、三项中的常数也保留，则最概然分布要处理的问题表述如下:假设有N个可1ln(n!)≈nln(n)－n+ln(2π)(4)以分辨的粒子，位于n个可以不同的能级上，每个能2级上占据的粒子数为a1，a2，…，an，能量为ε1，进一步保留整个第三项，就是通常的斯特林公式:ε2，…，εn，简并度为ω1，ω2，…，ωn，体系总能量为ln(n!)≈nln(n)－n+1ln(2πn)(5)2ε，什么分布出现的概率最大?［1，2］许多文献在研究玻尔兹曼分布时为了简单用数学化的语言来说就是:设a1，a2，…，an∈+++会直接采用式(3)作为n!的近似．然而式(3)的近R，ω1，ω2，…ωn∈N，ε1，ε2，

5、…，εn∈R，满足nn似效果是比较差的，它要求n＞＞1，但这对于n不Σai=N，Σεiai=ε(1)i=1i=1大的情况不适用．从上述3个公式的截断位置可以N!naj看出，后两个公式的近似效果均明显好于式(3)，在求f(a1，a2，…，an)=n∏ωj何时取得最j=1∏i=1ai!n不大时也有较好的近似效果．我们绘出了上述3大值?这里f(a1，a2，…，an)是玻尔兹曼体系当中对个公式对ln(n!)的近似效果图，如图1所示．为了［1，2］应能级分布为a1，a2，…，an时的微观状态数．需更加显著地看出3个公式近似效果的差别，对纵坐要说明的是，本文假定满足上述条件的分布是存在标取对数，可以

6、得到图2．的．这只需要判定两个条件联立对应的增广矩阵的从图1可以看出，式(3)在n不大时精度很低．收稿日期:2014－02－08;修回日期:2014－09－30作者简介:陈凌蛟(1992—)，男，江苏南京人，东南大学吴健雄学院2011级本科生．第3期陈凌蛟，等:玻尔兹曼分布的严格推导61分布的推导及其漏洞．［1，2］传统的统计物理在研究玻尔兹曼分布时，常常利用式(3)，将原问题转化为求nns(a1，a2，…，an)=NlnN－Σailnai+Σailnωii=1i=1(8)何时取到最大值．文献［2］是这一类方法的代表，论证思路清晰明了:要寻找s(a1，a2，…，an)在条件图13个公式的

7、近似效果图式(1)下的极值点，只需直接使用拉格朗日乘子法，建立拉格朗日方程，联立求解，就可以得出结果．其优点在于论证简洁清楚，结果一目了然，具有相当的启发性，但是存在几处漏洞．1)使用的斯特林公式过于粗糙．文献［2］的证明利用了式(3)做模型近似，如前文所述，这是一个较粗糙的近似．基于这一模型获得的结果精度难以保证．尤其在N，a1，a2，…，an不很大的情况下，这种估计和实际的分布情况差距很大．2)解的存在性没有进行说明．文献［2］