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1、几何基础学习指导(6)第4章射影变换重难点解析1.交比和调和比仿射变换(对应)是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比(1)关于交比的定义定义(4.2)把交比定义为两个单比的比，即共线四点B,C,D的交比定义为两个单比(4BC)和(ABD)的比，表为G4B,CD)二(ABD)交比也称复比，即两个单比Z比的意思.这种定义可称为儿何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点
2、力，B,C,D的坐标顺次为A,B,/+人
3、3,/+久2§，则(4B,CD)=^-以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义MB,CD)二晋菁ACBD~BCAD所用坐标的非齐坐标，AC,BD,BC,/D都指有向线段的代数反度；第二种定义方法⑷，CD)二工用齐次坐标.例如,共线四点/(2,1,-1),B(1,-1,1),C(1,0,0),D(1,5,-5),求(AB,CD)时，可把/和B作为基础点对，则2C-A+By入尸1,D=2A-3B▼人2=—3所求交比^=-~丸23注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点屮是否有无穷远点.所以，定义(
4、4B,CD)=^£L=ACBD,还屈于欧氏平面上的定义，不能解⑷D)BCAD决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(/B，CD)=^-的定义方法.关于交比的定义，要注意以下问题：%1儿B,C,D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；%1AC,BD,BC,都是有向线段的代数长，因而交比(4B,CD)是个数值.(2)交比的性质由于A,B,C,D四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的
5、交比值，实际上只有6类，并且在24个排列屮，只要求岀1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知⑷,CD)=3,则可知(DC,BA)=(B4,DC)=(4B,CD)=3.而QC,BD)=1-(4B,CD)=-2(1)儿个特殊的交比共线四点B,C,D屮，设B,C是固定点，第四点D沿直线移动.可以证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比(4B,CD)的值.点D的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D在两个不同的位置，且有(AB,CD)=CAB,CD)则(肋C)二(AB®,人」(ABD)_(ABD)'因而(ABD)=(4BDJ这只有在
6、D二D时，等式才成立，因此，(4B,CD)的每个值，对应点D的一个确定的位置.当这四个点屮有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论•证明如下：设已知三点的坐标是/+&〃，/+入/+右B(入-禺)©-九)(^2一心)(久
7、一几4)(其中《为定值，且kHO,1)可以求出九，确定第四点•因此第四点A+A.B唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况%1D与C重合吋，则有(4B,CD)=1%1当D与B重合吋，则有(4B,CD)=(4B,CB)=AC'BB=0BCAB%1当D与力重合时，AC・RA(4B,CD)=(AB,CA)==ooBC・/iA%1D为无穷远点时
8、，则有(4B,CD)=SB,CDQ=(AB()=(ABC)(4BDJ可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比(ABC),利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.(1)点列屮四点的调和比调和比是交比的重要特例.当(AB,CD)=-1时，称为C,D调和分割力，〃.或称点偶力，B与点、偶C,D调和共觇.D叫做B,C的第四调和点.应当注意，在调和分割屮，两对点的关系是完全对等的.点列屮四点力，B,C,D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可
9、以组成调和共辄的两对点偶时，(注意排除两点重合和虚点不考虑)，那么这六个交比值才有相同的.(2)线束的交比和调和比%1由定义知，四直线儿B,C,D的交比为型2=仝竺，注意这个定义(ABD)BCAD中数目的排列.%1要注意定理4.7：如果线束S的四线儿B,C,D被任何一条直线$截于四点B,C,D,贝9(AB,CD)=CAB,CD)的证明.在上述定理中，若点S,A,B,C,D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷远点或S为无穷远直线时(即B,C,D都是无穷远点)，此定理仍成立.即(AB,CD)的值与直线S的取法无关，所以仍可取(AB,CD)=(4B,CD)%
10、1定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束,则此点列上对应四点的交比相等还可以推
