专题提升6 平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法

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1、专题提升6　平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法1．(西宁中考)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连结CD，则阴影部分的面积是(D)A.π－1B.π－2C．π－2D．π－1【解】　在Rt△ACB中，AB＝＝2.∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，∴CD是等腰直角三角形ACB底边上的高，∴AD＝BD＝CD＝，∴S阴影部分＝S扇形CAB－S△ADC＝π×22－×()2＝π－1.　　(第1题)(第2题)2．(达州中考)如图，将直径AB为12的半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的

2、面积是(B)A．12π　　B．24πC．6π　　D．36π【解】　设以AB为直径的半圆为半圆O，以AB′为直径的半圆为半圆O′.∵AB＝AB′＝12，∠BAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形ABB′＋S半圆O′－S半圆O＝＋π×62－π×62＝24π.3．如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点A1第一次滚动到图②的位置时，顶点A1所经过的路径长为(A)(第3题)A.πa　B.πaC.πa　D.πa【解】　连结A1A5，A1A4，A1A3，易得A1A4＝2a，A1A5＝A1A3＝a.当点

3、A1第一次滚动到图②的位置时，顶点A1所经过的路径分别是以点A6，A5，A4，A3，A2为圆心，a，a，2a，a，a为半径，圆心角均为60°的五条弧，故总长为＝πa.4．(邵阳中考)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置……以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)(第4题)A．2015π　B．3019.5πC．3018π　D．3024π【解】　转动第一次的路线长是＝2π，转动第二次的路线长是＝π，

4、转动第三次的路线长是＝π，转动第四次的路线长是0，转动第五次的路线长是＝2π，……以此类推，每四次转动为一个循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋π＋π＋0＝6π.∵2015÷4＝503……3，∴顶点A转动2015次经过的路线长是6π×504＝3024π.5．(梧州中考)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以点E为圆心，ED长为半径作半圆，交点A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为(B)(第5题)A．9　B．18C．36　D．72【解】　∵MN是半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MD

5、N中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．在Rt△AED中，DE＝＝＝3，∴MN＝2DE＝6，∴S阴影＝S△DMN＝MN·DA＝×6×6＝18.6．如图，水平地面上有一面积为πcm2的扇形(阴影部分)，半径OA＝3cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动大半圈至与三角形石块BDE接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C.已知∠BCD＝30°，则点O移动的距离为(B)(第6题)A．2πcm　　B．4πcmC.πcm　　D．52πcm【解】　∵S扇形＝lR＝l·3＝π，∴l＝5π，

6、可求得扇形圆心角的度数为300°.连结OC.∵∠BCD＝30°，∴∠BOC＝2∠BCD＝60°.∴所对圆心角的度数为300°－60°＝240°，∴点O移动的距离＝l＝＝4π(cm)．7．(重庆中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是2π(结果保留π)．【解】　根据题意，得S阴影部分＝S扇形ADB－S半圆AB.∵S扇形ADB＝＝4π，S半圆AB＝π×22＝2π，∴S阴影＝4π－2π＝2π.　　(第7题)(第8题)8．如图，将半径为2cm的圆形

7、纸板沿着长和宽分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长是4π＋56cm.【解】　圆在矩形的四个角的顶点处旋转的角度为90×4＝360°，即一个圆周，则旋转的路线长是2π×2＝4π(cm)．∴圆心所经过的路线长＝2(16＋12)＋4π＝(56＋4π)cm.9．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于5π．(第9题)【解】　如解图．(第9题解)由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的

8、运动轨迹是一条线段，长度为圆的弧长，然后沿着走过圆的弧长．∴圆心O运动路径的长度为×2π×5＋×2π×5＝5π.10．(河