角函数的图像及其变换

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1、5.8三角函数的图像及其变换一.三角函数图象的作法1.几何法（利用三角函数线）2.描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）.（2）正切函数的图像：作正切曲线常用三点二线作图法来作。正弦函数、余弦函数、正切函数的图像如下图：函数图象的作图方法：（用五点法）先取横坐标分别的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就为0，得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。再将一个周期内的图像向左右平移2kπ个单位即得函数的整个图像。（1）正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦图像与x轴的交点：正弦函数为（kπ,0）k∈Z；余弦函数为(kπ＋0),k∈

2、Z；正切函数为(kπ,0)，k∈Z。3.三角函数图像的对称轴与对称中心：⑴正弦曲线的对称轴为；对称中心为⑵余弦曲线的对称轴为；对称中心为(,0)k∈Z。⑶正切曲线的对称中心为其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处函数有最大（小）值。二.函数图象的画法：1.五点法作y=Asin（ωx+）(A>0,ω>0)的简图：五点取法是:设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。2.正弦型函数的一些结论：最大值是，最小值是，周期是频率是，相位是，初相是（即当x＝0时的相位）；其图像的对称轴是直线，凡是该图像与直线的交点都是该图像的对称

3、中心。对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。3.利用图象变换作三角函数的图象．（1）振幅变换（2）周期变换（3）相位变换（4）上下平移5.求三角函数的周期的常用方法4.由y＝Asin(ωx＋)的图像求其解析式正弦型函数的图像的作法已知函数（1）求它的振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它的图像；（3）说明的图像可由的图像经过怎样的变换而得到？解：（1）振幅为2，周期为，初相为（2）列表（令X=2x+）xX00200描点、连线。得到函数在一个周期内的图像（图1），再将其向左、右平移kπ(k)各单位即得函数的整个图像（如图2）。图1（3）把的图

4、像上所有的点左移个单位，得到的图像，再把的图像上的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像，最后把图像上点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图像。将正弦型（余弦型）函数图像平移若干个单位后，成为偶函数（或奇函数），求最小平移量。把函数y=cos（x+）的图像向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是（）ABCD解：先写出向左平移个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++），则cos（－x++）=cos（x++），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxs

5、in（+）∴sinxsin（+）=0，x∈R，∴+=kπ，∴=kπ－＞0∴k＞，∴k=2。∴=【答案】B由函数的部分图像所给信息，求函数的解析式如图为的图象的一段，求其解析式。解：由图像易得A=又所以函数的解析式是Oxy【点评与感悟】⑴函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定;（2）给出图像（或部分图像）确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，常常从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置。将已知函数的图像作若干次变换后，求所得图像的函数解析式为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点(

6、)（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）【思路分析】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练得比较多的一种类型。解：先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像，故选C。【答案】C判断（或求）三角函数的对称轴（对称中心）已知

7、函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图像()A关于点（，0）对称B关于直线x＝对称C关于点（，0）对称D关于直线x＝对称【解析】由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得，由得x=2x+=kπ对称点为（,0）（），当时为（,0），选Ak=1A正、余弦型函数的图像、解析式等知识的综合应用受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。某港口水的深度y（米）是时间t（单位：时）的函数，记作，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t（时）03691215182124y（米）10.

8、013.09.97.010.013.010.17.0