建立一元二次方程解决几何问题

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1、新课标（RJ）数学九年级上册全品新教案21.3实际问题与一元二次方程第3课时　几何图形问题情景导入　置疑导入　归纳导入　复习导入　类比导入　悬念激趣情景导入　提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步）.只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几

2、步”.答：“阔二十四步，长三十六步”.这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决这个问题吗？[说明与建议]说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣.建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想.悬念激趣　如图21－3－3，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.图21－3－3（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方

3、体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？版权归全品公司所有，违者必究新课标（RJ）数学九年级上册全品新教案[说明与建议]说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣.建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，感受到数学的应用价值，并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具.教材母题——第22页习题21.3第9题如图21－3－4，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其

4、中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？图21－3－4【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不会改变”的道理，把纵、横的彩条移动到一起，利用面积的和差解决问题.有关面积问题的常见图形有如下几种：图21－3－5版权归全品公司所有，违者必究新课标（RJ）数学九年级上册全品新教案【变式变形】1.庆阳中考如图21－3－6，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积

5、为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（A）A.（32－2x）（20－x）＝570B.32x＋2×20x＝32×20－570C.（32－x）（20－x）＝32×20－570D.32x＋2×20x－2x2＝570图21－3－6图21－3－72.大连中考如图21－3－7，有一张矩形纸片，长为10cm，宽为6cm，将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意可列方程为（B）A.1

6、0×6－4×6x＝32B.（10－2x）（6－2x）＝32C.（10－x）（6－x）＝32D.10×6－4x2＝323.如图21－3－8，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　2　m.图21－3－8图21－3－94.如图21－3－9，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130m2的矩形花坛，木篱笆长为33m，墙长为15m，则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适？[答版权归全品公司所有，

7、违者必究新课标（RJ）数学九年级上册全品新教案案：花坛长为13m，宽为10m][命题角度1]列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积.从而找出题中的等量关系，列出方程.例　[襄阳中考]用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形.设矩形的长为xcm，则可列方程为（B）A.x（20＋x）＝64　　　　　　　B.x（20－x）＝64C.x（40＋x）＝64D.x（40－x）＝64[命题角度2]列一元二次

8、方程解决与几何图形面积相关的问题方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系，而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二[教材母题挖掘].[命题角度3]列一