南京航空航天大学教（学）案_南京航空航天大学精品课程

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1、.....南京航空航天大学教案课程名称应用统计学授课对象本科课时2授课内容多元线性回归分析授课方式讲课教材名称及版本应用统计学（高等教育出版社）教学目的与要求通过本章学习，使学生掌握多元回归模型的建立、检验及区间预测，熟练掌握运用Excel软件或Spss软件求解模型参数，并能对实际问题进行分析预测。教学重点多多元线性回归模型建立；多元线性回归模型的检验；预测区间。教学难点多元线性回归模型的检验及区间预测授课基本内容第三节多元线性回归模型一元线性回归研究的是某一因变量与一个自变量之间的关系问题。但是，客观现象之间的联系是复杂的，许多现象的变动都涉及到多个

2、变量之间的数量关系。这种研究某一因变量与多个自变量之间的相互关系的理论和方法称为多元线性回归。因多元线性回归模型的计算较为繁杂，故本节采用矩阵形式讨论多元线性回归模型的基本原理。设所研究的对象受多个因素,,…,影响，假定各个影响因素与y的关系是线性的，这时就需要建立多元线性回归模型，多元线性回归模型为：给定变量y,的n组观测值，，对应地有（6.3.1‘）若取的观测值恒等于1，即对任意有=1，则其矩阵形式为其中，　　　　1．OSL估计我们仍采用最小二乘法估计参数向量B，设观测值与模型估计值的残差向量为E，则学习参考.....其中，。根据最小二乘法的要求，

3、应有=min（6.3.2）即　=min由极值原理，根据矩阵求导法则，式（6.3.3）对Ｂ求导，并令其等于零，则得＝＝＝-2＝０整理得回归系数向量Ｂ的估计值为　　　　　　　　　　　　　（6.3.3）2．回归系数的统计性质（１）回归系数的数学期望＝＝＝＝Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　（6.3.4）可见是Ｂ的无偏估计量。（2）回归系数的协方差因为＝－Ｂ＝故＝===(6.3.5)二、多元线性回归模型的检验学习参考.....在建立多元线性回归模型的过程中，为进一步分析回归模型所反映的变量之间关系的是否符合客观实际，引入影响因素是否有效，同样需要对回归模型进行检

4、验。常用的检验方法有Ｒ检验法，Ｆ检验法，t检验法和ＤＷ检验法。１.Ｒ检验法Ｒ检验法是通过复相关系数检验一组自变量与因变量y之间的线性相关程度的方法，又称复相关系数检验法。　　　　　（6.3.6）这时称为复可决系数。它的平方根Ｒ为Ｒ＝　（6.3.7）称为复相关系数。与相关系数检验法一样，复相关系数检验法的步骤为：（1）计算复相关系数；（2）根据回归模型的自由度n－m和给定的显著性水平值，查相关系数临界值表；（3）判别。由于是一个随自变量个数增加而递增的增函数，所以，当我们对两个具有不同自变量个数但性质相同的回归模型进行比较时，就不能只用作为评价回归模型优

5、劣的标准，还必须考虑回归模型所包含的自变量个数的影响。因此，就需要定义一个经过校正的，记为：　　　（6.3.8）这里，n－m是剩余变差的自由度，n－１是总变差的自由度。由此可见，中体现了自变量个数 m的影响。与之间的关系式如下：＝１－（１－）　　　　　　　　　　（6.3.9）2．Ｆ检验Ｆ检验是通过Ｆ统计量检验假设：是否成立的方法。（１）构造Ｆ统计量。学习参考.....　　　　　　　　　（6.3.10）式中的m－１是回归变差的自由度，n－m是剩余变差的自由度。（2）查F分布表。对给定的显著性水平，查Ｆ分布表可得临界值。（3）判断。若Ｆ>，则否定假设，认为

6、一组自变量与因变量y之间的回归效果显著；反之，则不显著。一般来讲，回归效果不显著的原因有以下几种：①影响y的因素除了一组自变量之外，还有其他不可忽略的因素；②y与一组自变量之间的关系不是线性的；③y与一组自变量之间无关。这时，回归模型就不能用来预测，应分析其原因另选自变量或改变模型的形式。3．t检验前面讲的R检验和Ｆ检验都是将所有的自变量作为一个整体来检验它们与因变量y的相关程度以及回归效果，而t检验则是通过t统计量对所求回归模型的每一个系数逐一检验假设：＝０　j=１，２，…，m是否成立的方法。（１）t统计量　　　　　　　　　　（6.3.11）式（6.

7、3.16）中，j=1,2,…,m，为第j个自变量的回归系数；是的样本标准差。（2）t检验的步骤①计算估计标准误差②计算样本标准差＝　　　　　　　（6.3.12）式中为矩阵主对角线上的第j个元素。③计算t统计量④建立假设：＝０　j=1,2,…,m若>式成立，则否定假设，说明对y有显著影响；反之假设成立，学习参考.....＝０被接受，说明对y无显著影响，则应删除该因素。4.DW检验（1）如果回归模型存在自相关时我们继续使用最小二乘法估计参数，可能将产生下列严重后果：①估计标准误差Ｓ可能严重低估的真实值；②样本方差，可能严重低估的真实值；③估计回归系数可能歪

8、曲的真实值；④通常的Ｆ检验和t检验将不再有效；⑤根据最小二乘估计量所作的预测将无效。在序列相关