恒成立问题和存在性问题——设计

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1、启东市第一中学赛课学案恒成立问题和存在性问题主备人：施建华审核人：李岳【学习目标】1.会识别和转化恒成立问题和存在性问题；2.能灵活应用几种常用解法解决恒成立问题和存在性问题；3.培养辨析问题、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．【学习重点】理解恒成立问题和存在性问题的实质，有效掌握解决此类问题的基本技能．【学习难点】如何通过识别主元，简化恒成立问题和存在性问题．【学习过程】一温故链接●导引自学已知函数f（x）＝－2ax＋4，若对"x∈[1，2]，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．（本题展示同学们的各种

2、做法）方法一：分离变量法方法二：找最值的方法方法三：数形结合法二交流质疑●精讲点拨【例1】对任意的x∈[1，2]，－x＋（2a－1）x＋3＞0，求实数a的取值范围．①分离变量——可直接分离2a－1②找寻最值——应该找最小值③数形结合——只需两端点在x轴的上方本题教师板演规范解法第1页共2页启东市第一中学赛课学案【变式1】若存在x∈[1，2]，－x＋（2a－1）x＋3＞0，求实数a的取值范围．①与例1的区别在哪里？②命题可以转化为：－x＋（2a－1）x＋3＞0在x∈[1，2]上有解③恒成立问题和有解问题的解法区别是什么？a＞f(x)有解Þa＞f(

3、x)mina＜f(x)有解Þa＜f(x)max本题展示学生规范解法【变式2】若f（x）＝－x＋2ax，g（x）＝x－3，若对任意的x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x），则实数a的取值范围是．原题等价于－x＋2ax＞x－3对任意的x∈[1，2]恒成立化简可得－x＋（2a－1）x＋3＞0对任意的x∈[1，2]恒成立以下同例1……这类f（x）＞g（x）型的问题，称为“双函数单变量问题”解决办法是构造h(x)＝f(x)－g(x)，然后利用分离变量等方法求解.函数f（x）的图像恒在函数g（x）图像的上方【变式3】若f（x）＝2＋a，g（x）＝x－3，若

4、对"x1∈[1，2]，$x2∈[2，3]，使得f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．分析："x1∈[1，2]$x2∈[2，3]f（x1）＞g（x2）minf（1）＞g（2）2＋a＞－1a＞－3总结：“双函数双变量问题”的解决方法是——两边求最值.第1页共2页启东市第一中学赛课学案【学生活动】议一议，填一填，做一做！请同学们花5——8分钟的时间，讨论一下前面的两条横线有几种填法，同时把每种填法的结果填写完成！若f（x）＝2＋a，g（x）＝x－3；若x1∈[1，2]，x2∈[2，3]，使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是．【例2】

5、已知f（x）＝，若对任意的x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是．【变式4】已知f（x）＝，x∈[1，＋∞)；若对任意的a∈[－1，1]，f（x）＞4恒成立，求实数x的取值范围．解析恒成立；由题知：x－2x＋a＞0对a∈[－1，1]恒成立，把g(a)＝a＋(x－2x)看成a的一次函数，则使g(a)＞0对a∈[－1，1]恒成立的条件是ÞÞx<1－或x>＋1.又故所求的取值范围是第1页共2页启东市第一中学赛课学案三当堂反馈●拓展提升1.已知函数f（x）＝x－2ax＋4；①若"x∈[1，2]，有f(x)＞0，则实数a的取值范围是；

6、②若$x∈[1，2]，有f(x)＞0，则实数a的取值范围是；2.已知函数f(x)＝x＋2x＋a，g(x)＝4x，若对任意的x∈[1，＋∞)，函数f(x)的图像恒在g(x)的上方，则实数a的取值范围是．a＜2a＜a＞1本堂总结：①恒成立（存在性）问题的常用解法；②双函数单变量问题的处理办法；③双函数双变量问题的处理办法；④多变量问题中的主次元问题的辨认。【例1】对任意的x∈[1，2]，－x＋（2a－1）x＋3＞0，求实数a的取值范围．【变式4】对任意的a∈[1，2]，－x＋（2a－1）x＋3＞0，求实数x的取值范围．方法一：分离变量法2ax＞x＋

7、x－3在a∈[1，2]上恒成立即(2x)·a＞x＋x－3在a∈[1，2]上恒成立方法二：设函数g(a)＝(2x)·a－(x＋x－3)，a∈[1，2]Þ解不等式组可得：＜x＜第1页共2页