第二章第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用 - 教师

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1、第13讲　导数与函数的极值、最值及实际应用1．辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．2．明确两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有个极大值点、个极小值点两两2．设函数f(x)＝xex，则x＝为f(x)的极值点．－1小3．函数y＝lnx－x在x∈(0

2、，e]上的最大值为－14．函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________．85．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________．12考点一　函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值．　设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求

3、a的取值范围．[解]　f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)>0，解得x<，或x>1；令f′(x)<0，解得0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2

4、－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥.综上，a的取值范围为.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点.　1.(1)设函数f(x)＝＋lnx，则f(x)的极小值点为(　　)(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数

5、g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：(1)因为f(x)＝＋lnx，所以f′(x)＝－＋(x>0)，由f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．所以x＝2为f(x)的极小值点．(2)①由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.将a＝0，b＝－3代入检验知符合题意．②由①知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，

6、于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－20，故x＝－2是g(x)的极小值点．当－21时，g′(x)>0，故x＝1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为x＝－2，无极大值点．考点二　函数的最值问题　已知函数f(x)＝x－eax(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值．[解]　(1)f(x)＝x－eax(a>0)，则f′(x)＝1－aeax，令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝ln.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xlnf′(x

7、)＋0－f(x)↗极大值↘故函数f(x)的增区间为；减区间为.(2)当ln≥，即00)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．