第八章第2讲两直线的位置关系

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1、第2讲　两直线的位置关系1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在　　2.两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

2、P1P2

3、＝点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝　　[做一做]1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2

4、y＋4＝0的交点为(　　)A．(，)　　　　　　B．(－，)C．(，－)D．(－，－)答案：B2．(2015·天津模拟)若直线y＝2x与kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________．答案：1．辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平

5、行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．[做一做]3．点(1，1)到直线x＋2y＝5的距离为(　　)A.B.C.D.答案：D4．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　)A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0答案：A__两条直线平行与垂直__________________　(1)“a＝2

6、”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的(　　)A．充要条件　　　　　　B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2015·河北保定调研)与直线x＋4y－4＝0垂直，且与抛物线y＝2x2相切的直线方程为________．[解析]　(1)当a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．(2)所求直线与直线x＋4y－4＝0垂直，故所求直线斜率为4.由题意知：y′＝

7、4x＝4，∴x＝1，从而y＝2，即切点为(1，2)，故所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.[答案]　(1)C　(2)4x－y－2＝0[规律方法]　两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．(2)已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的

8、关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.　1.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．解：(1)法一：当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，直线l2的方程为x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线的方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)

9、，由l1∥l2⇔解得a＝－1.综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0；由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，因此l1∥l2⇔⇔⇒a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)法一：当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，直线l2的方程为x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立．当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不垂直于l2.当a≠1且a≠0时，直线l1的方

10、程为y＝－x－3，直线l2的方程为y＝x－(a＋1)，由(－)·＝－1⇒a＝.法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.__两条直线的交点______________________　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．[解]　法一：由方程组，得，即P(0，2)．∵l⊥l