《分段函数模型在实际问题中的应用》导学案

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1、分段函数模型在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。本文就分段函数模型在几种实际问题中的应用举例加以说明，供同学们学习时参考。一、醉酒驾车问题举例1.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中的酒精含量

2、不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。解析:当0≤x≤1时,f(x)为增函数，f(x)≥50-2=0.04>0.02；当x>1时,f(x)=≤0.02得≤，3x≥30,33=27<30,34=81>30,x≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二、工作安排问题举例2某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人每小时能加

3、工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。设加工A型零件的工人人数为x名().⑴分别用含x的式子表示完成A型零件加工所需时间和完成B型零件加工所需时间；⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值?解析:⑴生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f(x)=.生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间g(x)=.(2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大

4、者。令f(x)≥g(x)，即≥，解得1≤x≤32.所以当1≤x≤32时，f(x)>g(x)，当33≤x≤49时，f(x)h(32)，所以h(x)在[1,49]上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32.点评:本题主

5、要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。三、学生听课注意力问题举例3通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:f(t)=讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意

6、力哪时更集中?一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?解析:(1)当0

7、f(t)=-t2+24t+100=180，则t=4；当1024.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。四、商品利润最大问题举例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数:R（x）=将利润表示为月产量的函数f(x);每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润)分

8、析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。解析:(1)月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而f(x)=当0≤X≤400时,f(x)=-(x-300)2+25000.当X>400时,f(x)=6000