京教杯——“任意角的三角函数”的教学设计

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1、1.2.1“任意角的三角函数”（第一课时）的教学设计北师大实验中学刘丹一、指导思想与理论依据1.概念的形成建构主义学习观认为：学生的数学学习过程是学生利用已有数学认知结构中的相关知识（包括从书本上学习的和从日常生活经验中获得的）与新知识进行相互作用，主动地建构信息的数学意义的过程．维果茨基的“最近发展区”理论提出教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能．“任意角的三角函数”概念学习于已有的“锐角三角函数”概念属于上位学习，新的定义按照学生已有知识无法自行产生，需要在教师的引导下，通过自主探究建构新概念，理解“锐角三角函数”和“任意角三角函数”概念的

2、联系和区别，这样既符合学生的实际情况，也体现了最近发展区的理念．2.锐角三角函数知识负迁移的影响学习定势是指在学习活动中，先前的活动经验往往会成为后面活动的准备状态，如果没有理清新知识与原有活动经验之间的关系就套用旧法，此时学习定势很可能会消极的影响．初中学习的锐角三角函数强调锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，构造直角三角形解决三角函数问题的方法在学生头脑中根深蒂固，这对任意角三角函数概念的学习可能会产生负迁移．结合以上分析，在任意角三角函数概念的教学设计中要注意以下问题：一是重视概念的生成过程：二是合理利用锐角三角函数，防止负迁移．二、教学背景分析三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

3、“任意角的三角函数”是三角函数的核心概念，它既是“锐角三角函数”的上位概念，又是“函数”的下位概念．它是在学生初中数学已经学习过“锐角三角函数”，7高中进一步学习“用集合与对应的语言刻画函数”，并且刚刚“了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化”的基础上来进行学习的内容．授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生对锐角三角函数比较熟悉，并已掌握“函数”和“任意角”的相关知识．但初中强调锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，这对学生学习新概念可能会产生负迁移．帮助学生从“长度比”过渡到“坐标比”是本节课的重点和难点．本节课以“启发式”教学为主，通过创设情境，引导学生自主探究，让学

4、生参与到概念的形成全过程．在教学过程中，通过设计认知冲突，激发学生兴趣．通过“创设情境——自主探究——规律探索——提升认识——总结反思”让学生对“任意角的正弦”概念的理解层层推进．教学技术手段上，利用几何画板创设“摩天轮”的问题情境，让学生感受新定义的必要性、探索新概念，加深对概念的理解．三．教学目标设计知识与技能目标：理解任意角的正弦定义；会利用定义进行简单应用；初步体会正弦函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．过程与方法目标：经历探究任意角的正弦定义的过程，感悟数形结合的数学思想．情感态度与价值观目标：感受数学来源于生活，应用于生活，提高学习数学的兴趣．教学重点：理解任意角的正弦的定

5、义；教学难点：“任意角的正弦”概念的建构过程．四、教学过程与教学资源设计本节课的教学过程按以下五个环节展开：创设情境引出概念自主探究建构概念规律探索理解概念提升认识强化概念总结反思固化概念7教学环节教师行为学生行为设计意图创设情境引出概念n展示视频——旋转的摩天轮感受到座舱距离地面的高度h与旋转角a之间存在对应关系数学来源于生活，应用于生活．摩天轮的旋转让学生直观感受到座舱距离地面的高度h与旋转角a之间存在对应关系，并引出后续研究——用含a的式子表示h．n问题情境摩天轮的半径r，它的中心O离地面的高度为h0．摩天轮按逆时针方向匀速转动．初始时座舱P位于与O在同一水平线的A处，当点P逆时针旋转

6、角a时，点P离地面的距离为h．（1）若h0=25米，r=20米，a＝30°，h=_________米；（2）若a＝70°，h=__________；（用r和h0表示）（3）若，h=________;（用a、r和h0表示）（4）当a为任意角时，还能用含a的式子表示h吗？共同解决问题(1)(2)(3),复习锐角的正弦定义，并思考a为任意角的情况，得到的猜想，意识到有必要定义任意角a的正弦．通过4个逐步深入的问题，复习应用锐角的正弦，并经历了从特殊到一般的思考过程，引出了本节课的课题——任意角的三角函数n问题探究1问题1：如何定义任意角a的正弦？巡视了解学生讨论情况，提示学生从某些特殊角（如210

7、°）入手，回到问题情境中检验猜想的合理性，n深入探究：以分组合作的方式探究问题1，并回到问题情境中检验猜想的合理性.通过“提出猜想——检验猜想——改进猜想”的探究过程，让学生意识到要将和两种形式统一，必须在有些情况下定义7自主探究建构概念（1）能否用线段PM的长度表示h？（2）如果想把和两种形式统一起来，应该如何定义sina？根据讨论改进猜想，得到或的结论，有些情况下定义．由此自然的提出下一个问题——什么量可