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《数学分析_各校考研试题及答案 2new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2003南开大学年数学分析.一、设其中有二阶连续偏导数，求解：令u=x+y,v=x-y,z=x则；二、设数列非负单增且，证明解：因为an非负单增，故有由；据两边夹定理有极限成立。三、设试确定的取值范围，使f(x)分别满足：（1）极限存在（2）f(x)在x=0连续（3）f(x)在x=0可导解：（1）因为==极限存在则2+知(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则（3）所以要使f(x)在0可导则四、设f(x)在R连续，证明积分与积分路径无关解；令U=则=又f(x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以积分与路径无关。（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在
2、[a,b]上可导，且,证明证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在即有六、设单减而且收敛于0。发散a)证明b)证明其中；证：（1）因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知（2）因为正项级数发散则又由上题知故有七、设证明（1）在一致收敛（2）在连续证：（1）因收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又在x>=1,t>=0 单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛（2）由上题知，F（t）在一致收敛，且由在（x,t）上连续知F（t）在连续所以在连续，由的任意性得证八、令是[a,b]上定义的函数列，满足（1）对任意是一个有界数列（2）对任意，存在一个求证存在一个
3、子序列在[a,b]上一致收敛证：对任意，是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为，又令U=则U为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为于是对>0，有令则由条件（2）知对上述于是++由柯西准则得证。2004年南开大学数学分析试题答案1.2.,=3.即证明，即证设，，，，证完。4.===5.设P=，Q=，，积分与路径无关，则6.,又当时，收敛，当时，级数发散，原题得证7.由拉格朗日定理，，其中，原题得证8.（1）应用数学归纳法，当时命题成立，若当时命题也成立，则当时，，由归纳假设连续。（2）（3）由单调递减趋于，与都连续，由地尼定理，该
4、收敛为一致收敛。9.(1)证明：取，代入式中得，即，所以函数单调递增有下界，从而存在右极限，则；，由题设可得，即从而，所以导函数递增。(2)参考实变函数的有关教材。2005年南开大学数学分析试题答案2.，其中由求出3.4.在上单调一致趋于0，则在上一致收敛，又在上连续，则在上连续。5.由泰勒公式，则，后者收敛，则原级数收敛。6.由拉格朗日中值定理，后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。由一致收敛，则可以逐项求导，也一致收敛且连续，故连续可导7.反证：设存在有，不妨设，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域当时，则存在一个圆周与已知矛盾。8.当时，时，，综上，若对任意的有，则在
5、时，不存在，矛盾。设当时，当时，两边对积分即可6.，，由在上有定义，则在上有界，则可以得到在上连续。，则，则则单调递增有下界，存在右极限，存在，同理存在，由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1.（1）当时，当时，当时，当时，（2）当时，=（3）当时，当时，当时，当时，2.当时，，从而连续；当时，，存在；当时，,3.即证：，，，当时，设，，，所以，当时，设，，，所以，4.5.假设存在常数M，，积分矛盾6.作代换===7.椭球面的切向量为，切点为和8.当时，相加：令，所以9由含参量积分的性质，科院2006年数学分析试题参考解答1求a,b使下列函数在x=0处
6、可导:解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由得到b=1;又由得到a=0.即得。2证明:用反证法。由知，均为正项级数。假设级数收敛，则，于是有，从而由正项级数的比较判别法知级数收敛，矛盾，从而得证。3解：从而即得解。（利用余元公式、换元、函数更为简单）4证明：知,从而令有从而得证。5证明:6证明:我们先来证明一个不等式，一般的称为Cauchy---Schwarz不等式，即定理17证明：8设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S，还令，则.证明：由对称性知9解：为证明=I，我们先来证明一个定理：定理2设在
7、x
8、9、x
10、<1,由定理2即
11、知==I.10解:这是星形线，充分考虑到对称性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有北京大学20051设，试求和.解:当然此上极限可以令.此下极限当然可以令1.(1)设在开区间可微，且在有界。证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是(2)设在开区间可微且一致连续，试问在是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3．设.(1)求的麦克劳林展开式。(2)求。解:这道题目要是直接展开是很麻烦
