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《立体几何(向量法)建系讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB
2、.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.(2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此＝，即AA＝AD·
3、A1B1＝8，得AA1＝2.从而A1D＝＝2.所以，在Rt△A1DD1中，cos∠A1DD1＝＝＝.解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)．由⊥，有8－h2＝0，h＝2.故＝(－2,0,2)，＝(0,0,2)，＝(0
4、，，0)．设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即取z1＝1，得m＝(，0,1)，设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为.二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是圆的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角的余弦值.19.解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠
5、BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为余弦值为．三、利用图形中的对称关系建立坐标系例3（2013年重庆数学（理））如图,四棱锥中,,,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.【答案】解：
6、(1)如图，联结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F，又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2(舍去－2)，所以
7、
8、＝2.(2)由(1)
9、知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为2＝(x2，y2，z2)．由1·＝0，1·＝0，得因此可取1＝(3，，－2)．由2·＝0，2·＝0，得故可取2＝(3，－，2)．从而向量1，2的夹角的余弦值为cos〈1，2〉＝＝.故二面角B－AF－D的正弦值为. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线，投影构建直角坐标系例4-1（2013大纲版数学（理））如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明:(II)求二面角的余弦值.【答案】解：(1)取BC的中点E，
10、联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥
