2019高考数学考点突破——函数的应用：函数与方程学案

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1、函数与方程【考点梳理】1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞

2、0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【考点突破】考点一、函数零点所在区间的判断【例1】设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[答案]B[解析]法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的

3、区间为(1，2)．5【类题通法】判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．【对点训练】函数f(x)＝lnx＋x－－2的零点所在的区间是(　　)A．B．(1，2)C．(2，e)D．(e，3)[答案]C[解析]易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＝ln2－<0，f(e)＝＋e－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.考点二、判断函数零点的个数【例2】函数f(x)＝的零点个数是

4、________．[答案]3[解析]当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－，综上，f(x)有3个零点．【类题通法】判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．5(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．【对点训练】1．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点

5、个数为________．[答案]3[解析]依题意得解得令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，该方程等价于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.2．函数f(x)＝2x

6、log0.5x

7、－1的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]令f(x)＝2x

8、log0.5x

9、－1＝0，可得

10、log0.5x

11、＝x.设g(x)＝

12、log0.5x

13、，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．考点三、函数零点的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝log

14、3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，－log32)B．(0，log52)C．(log32,1)D．(1，log34)(2)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.(3)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x5，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围是．[答案](1)C(2)(0，1](3)(，)[解析](1)∵单调函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<

15、a<1，故选C.(2)当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0