方阵最小多项式的求法与应用

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1、方阵最小多项式的求法与应用[摘要]:本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.[关键词]:方阵；最小多项式；不变因子MinimalpolynomialofasquarematrixanditsapplicationsFENGYu-xiang(Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:AssociateProf.LIZhi-hui[Abstract]:Theminimalpolynomialofsquarema

2、trixisdiscussed,andfourmethodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.[Keywords]:squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation一、引言文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.

3、与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域上n阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵，是的特征多项式，则即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有定义1设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为10的最小多项式，记为.最小多项式有以下一些基本性质：定理1[1]设，则（1）的任一零化多项式都能被整除；（2）的最小多项式是唯一的；（3）相似矩

4、阵最小多项式相同.2．1由特征多项式求最小多项式定理2[1]是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点.证明：见参考文献[1].推论1若阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：，其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且则的最小多项式具有如下形式：，其中为正整数.推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法.例1求矩阵的最小多项式.解：因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能：（）（），10由于因此，的最小多项式为.有时在分解时比较困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同

5、的一次因式之积，故可先求出例2求矩阵的最小多项式.解：=由辗转相除法求得于是==于是的最小多项式有以下三种可能：10而，因此的最小多项式为.2．2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3[1]任意阶矩阵都存在最小多项式.证明：参见文献[1].这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：第一步试解若能解出，则的最小多项式为；若关于无解，则做第二步试解若能解出与，则的最小多项式为若不能解出与，则做第三步试解若能解出，与，则的最小多项式为若不能解出，与，则再做第四步试解等等，直到求出（10使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的

6、过程最多只有步即可终止），这时用代替，便得到所求最小多项式.例2求矩阵的最小多项式.解：（1）试解，显然关于无解.（2）试解写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求和，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；的第一行为（），从而的方程组此方程组显然无解.（3）试解写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解，和，这可由此比较方程两边第一列：；的第一列:,得关于，和的方程组:解此方程组得,,10因为对于上面解出的，和,矩阵方程成立.所以的最小多项式为2.3利用标准型求最小多项式定理4[1]设矩阵,则的最小多项式可以由给出,其中是的相异的特征

7、根,是在的型中包含的各分块的最大阶数.证明:参见文献[1].推论2当的所有特征值都相异时,的最小多项式就是A的特征多项式.由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.例2求矩阵的最小多项式.解：由的特征多项式知有两个不同的特征值：（均为三重的）.容易求得，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应的块的数目是1.又由于对应于的特征向量有2个，因此对应于10的块共有2块.故的标准型为：可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为：2.4利用不变因子求最小多项式引理1[4]的最小多项式是的初等因子的最小公倍式

8、.证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对的若当标准型矩阵证明即可.设，其中，并