高中数学三角函数7第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质教学案北师大版

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1、第1课时　正切函数的定义　正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.(2)与正弦、余弦函数的关系：＝tan_x．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图．2．正切线单位圆与x轴正半轴交于点A，过点

2、A作x轴的垂线AT，与角α的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角α的正切线．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．3．正切函数的图像和性质　　函数性质　　y＝tanx图像续表　　函数性质　　y＝tanx定义域{x

3、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}值域R周期性最小正周期为T＝π奇偶性奇函数单调性在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的对称性图像的对称中心(，0)k∈Z[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，

4、它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x

5、x≠kπ＋，k∈Z}，正切曲线在每一个开区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y＝

6、tanx

7、的周期是吗？提示：不是．y＝

8、tanx

9、的周期仍为π.讲一讲1．已知tanα＝2，利用三角函数的定义求sinα和cosα.[尝试解答]　在α的终边上取一点P(a，2a)且a≠0，则有x＝a，y＝2a，r＝＝

10、a

11、.∵tanα＝2>0，∴α在第一象限或第三象

12、限．当α在第一象限时，a>0，则r＝a.∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝.当α在第三象限时，a<0，则r＝－a.∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－.1．若P(x，y)是角α终边上任一点，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，其中r＝.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P(－b，4)且cosα＝－，求tanα的值．解：由已知可知点P在第二象限，∴b＞0.∵cosα＝－，∴－＝－，解得b＝3，tanα＝－.

13、讲一讲2．画出函数y＝

14、tanx

15、的图像，并根据图像写出使y≤1的x的集合．[尝试解答]　∵y＝

16、tanx

17、＝画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x的集合为{x

18、kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．1．三点两线画图法“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(

19、x

20、)及y＝

21、f(x)

22、的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x

23、≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(

24、x

25、)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y＝

26、f(x)

27、的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．练一练2．[多维思考]　根据讲2中函数y＝

28、tanx

29、的图像，讨论该函数的性质．解：(1)定义域：{x

30、x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π.(4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数．(5)单调性：在每一

31、个区间(－＋kπ，kπ](k∈Z)上是减少的，在每一个区间(k∈Z)上是增加的．(6)对称性：对称轴x＝，k∈Z.讲一讲3．(1)求函数y＝tan的单调区间．(2)比较tan与tan的大小．[尝试解答]　(1)∵y＝tanx，在(k∈Z)上是增加的，∴－＋kπ＜x－＜＋kπ，k∈Z.∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，即函数y＝tan的单调递增区间是2kπ，(k∈Z)．(2)tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan.又∵函数y＝tanx在(0，)内单调递增，而0<<<，∴tan

32、an.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间为___