解析几何中定点、定值、定直线问题

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1、解析几何中定点定值问题例1已知椭圆的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。解：由知，从而直线与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为，直线的方程为将代入椭圆的方程，整理得解得或，故点A的坐标为同理，点B的坐标为知直线的斜率为=直线的方程为，即直线过定点例3已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.（I）解：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则共线，得

2、（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.在椭圆上，即①由（I）知又又，代入①得故为定值，定值为1.例4设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．82.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，=______3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角θ，使．则直线与的斜率之积为.4.如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运

3、动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是ABP（第4题）椭圆5.在平面直角坐标系中，已知双曲线.椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.解：当直线ON垂直于x轴时，

4、ON

5、=1，

6、OM

7、=，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.由，得，所以.同理.设O到直线MN的距离为d，因为，所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，

8、直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.证明：直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，==，所以直线过定点．7.已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于轴的直线交椭圆于，两点，试求面积的最大值；（3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点.高二数学教学案（13）例1已知椭圆的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。例2一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点．

9、（1）求点的坐标；（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由．例3已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.例4设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.

10、高二数学作业（13）1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为______．2.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，=______3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角θ，使．则直线与的斜率之积为.4.如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是ABP（第4题）5.在平面直角坐标系中，已知双曲线.椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经

11、过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.7.已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于轴的直线交椭圆于，两点，试求面积的最大值；（3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点.