选修4-5_《不等式选讲》全册教案

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1、第一讲不等式和绝对值不等式课题：第01课时不等式的基本性质教学目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问

2、题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现

3、实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：35数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：①、如果a>b，那么b

4、如果bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>da+c>b+d．④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb>0，那么(nN，且n>1)⑥、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)。三、典型例题：例1、比较和的大小。分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例2、已知，求证：．例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：。四、

5、课堂练习：1：已知，比较与的大小。2：已知a>b>0，c

6、2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：∵（）2＋（）2≥2∴a＋b≥2，即≥显然，当且仅当a＝b时，＝说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；（2）如

7、果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2证明：因为x，y都是正数，所以≥（1）积xy为定值P时，有≥∴x＋y≥2上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2.（2）和x＋y为定值S时，有≤∴xy≤S2上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值S2.35说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。例2：已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此题要求学生注意

8、与均值不等式定理的“形”