必修四3.2 简单的三角恒等变换(教案)

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1、人教版新课标普通高中◎数学④必修3.2简单的三角恒等变换教案A教学目标一、知识与技能1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．二、过程与方法通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、情感、态度与价值观通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使

2、用公式等数学思想，提高学生的推理能力．教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．2．三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学关键：三角变换思路的引导．教学突破方法：引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体，尺规.学生准备：练习本，尺规.教学过程一、创设情境，导入新

3、课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：15人教版新课标普通高中◎数学④必修代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．二、主题探究，合作交流提出问题：①与有什么关系？②如何建立cos与sin2之间的关系？师生互动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2，将公式中的用代替，解出sin2即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：是的二倍角．在倍角公式cos2=1-2sin2中，以代替2，以代替，即

4、得cos=1-2sin2，所以sin2=．①在倍角公式cos2=2cos2-1中，以代替2，以代替，即得cos=2cos2-1，所以cos2=．②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan2=．③教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．三、拓展创新，应用提高例1试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到；15人教版新课标普通高中◎数学④必修因为，可以得到．又因为．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？活动：教师引导学生通过这两

5、种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．例2．求证：（１）；（２）．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得；①设，那么．把的值代入①式中得．点评：例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的

6、公式．例３求函数的周期，最大值和最小值．解：这种形式我们在前面见过，15人教版新课标普通高中◎数学④必修，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．例4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S=AB·BC

7、=(cosαsinα)sinα=sinαcosα-sin2α．求这种y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：(1)找出S与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S的最大值．解：在Rt△OBC中，BC=cosα，BC=sinα，在R