2018_2019版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习课学案新人教A版选修

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1、第四讲数学归纳法证明不等式复习课学习目标　1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式.2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤．1．数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法．2．一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种

2、证明方法称为数学归纳法．3．在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键．4．用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的条件下，推出当n＝k＋1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法．类型一　归纳—猜想—证明例1　已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{

3、an}的通项公式．(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设当n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)，13当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1.故当n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2.所以数列{an}的通项an＝反思与感

4、悟　利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．跟踪训练1　设f(n)＞0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．解　(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4

5、.∵f(n)＞0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝2k成立．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f(n)＝2n，n∈N＋.类型二　用数学归纳法证明等式或不等式例2　求证tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋ta

6、n(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N＋)．证明　(1)当n＝2时，13左边＝tanα·tan2α，右边＝－2＝·－2＝－2＝＝＝tanα·tan2α，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k.当n＝k＋1时，tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－k＋tankα·tan(k＋1)α＝－k＝·[1＋tan(k＋1

7、)α·tanα]－k＝[tan(k＋1)α－tanα]－k＝－(k＋1)，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)知，当n≥2，n∈N＋时等式恒成立．反思与感悟　归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．跟踪训练2　用数学归纳法证明：当n∈N＋时，(2cosx－1)·(2cos2x－1)…(2cos2n－

8、1x－1)＝.证明　(1)当n＝1时，左边＝2cosx－1，右边＝＝＝2cosx－1，即左边＝右边，∴命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，13即(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2k－1x－1)＝.当n＝k＋1时，左边＝(2cosx－1)(2cos2x－1)…·(2cos2k－1x－1)·(2cos2kx－1)＝(2cos2kx－1)＝＝.∴当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，当n∈N＋时命