浙江专用2019高考数学二轮复习专题七数学思想方法选用第2讲分类讨论思想转化与化归思想学案

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1、第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想高考定位　分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定

2、性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂

3、的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解

4、决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A13，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．热点一　分类讨论思想的应用[应用1]　由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】(1)设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3，则数列{an}的通项an＝________．(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析　(1)由2Sn＝3n＋3得：当n＝1时，2S1＝31＋3＝2a1，解得a1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(3n＋3)－(3n－1＋3

5、)]＝3n－1，由于n＝1时，a1＝3不适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝(2)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，不合题意，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.综上可知，a的值为－.答案　(1)　(2)－探究提高　由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数

6、学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．[应用2]　由数学运算要求引起的分类【例1－2】(1)不等式

7、x

8、＋

9、2x＋3

10、≥2的解集是(　　)13A．(－∞，－)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪C.∪[－1，＋∞)D．(－∞，1)∪(2)已知m∈R，则函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0，1]上的最大值为________．解析　(1)原不等式可转化为或或解得x≤－或－1≤x≤0或x＞0，故原不等式的解集为∪[－1，＋∞)．(2)①当4－3m＝0，即m＝时，函数y＝－2x＋，它在[0，1]上是减函数，

11、所以ymax＝f(0)＝.②当4－3m≠0,即m≠时，y是二次函数．当4－3m＞0，即m＜时，二次函数y的图象开口向上，对称轴方程x＝＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f(0)＝m，f(1)＝2－2m，当m≥2－2m，又m＜，即≤m＜时，ymax＝m.当m＜2－2m，又m＜，即m＜时，ymax＝2(1－m)．当4－3m＜0，即m＞时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝＜0，所