2018_2019学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明讲义含解析苏教版

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1、2.2.2 间接证明1.问题:在今天商品大战中,广告成了电视节目中的一道美丽的风景线,几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术.如宣传某种食品,其广告词为:“拥有的人们都幸福,幸福的人们都拥有”.该广告词实际说明了什么?提示:说的是:“不拥有的人们不幸福”.2.已知正整数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:a,b,c不可能都是奇数.问题1:你能利用综合法和分析法给出证明吗?提示:不能.问题2:a、b、c不可能都是奇数的反面是什么?还满足条件a2+b2=c2吗?提示:都是奇数.若a、b、c都是奇数,则不能满足

2、条件a2+b2=c2.1.间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.反证法就是一种常用的间接证明方法,间接证明还有同一法、枚举法等.2.反证法(1)反证法证明过程反证法证明时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题),用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示:→→→(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真.②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推

3、理,得出矛盾结果.③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.1.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法.2.可能出现矛盾的四种情况:(1)与题设矛盾;(2)与反设矛盾;(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾;(4)在证明过程中,推出自相矛盾的结论.用反证法证明否定性命题[例1] 已知平面上四点,没有三点共线,求证:以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题,解答时先假设四个三角形都是锐角三角形,再分

4、情况去推出矛盾.[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,记这四个点为A、B、C、D,考虑△ABC,点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况.(1)如果点D在△ABC之内(如图(1)),根据假设围绕点D的三个角都是锐角,其和小于270°,这与一个周角等于360°矛盾.(2)如果点D在△ABC之外(如图(2)),根据假设∠A,∠B,∠C,∠D都小于90°,这和四边形内角之和等于360°矛盾.综上所述.原结论成立.[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题

5、称为否定性命题,此类问题正面比较模糊,而反面比较具体,适于应用反证法.(2)反证法属于逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中:第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”.1.实数a、b、c不全为0等价于________(填序号).①a,b,c全不为0;②a,b,c中最多只有一个为0;③a,b,c中只有一个不为0;④a,b,c中至少有一个不为0.解析:“不全为0”等价于“至少有一个不为0”.答案:④2.如图,正方体ABC

6、D-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是CD的中点,用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线.解:假设直线BM与A1N共面.则A1D1⊂平面A1BND1,且平面A1BND1∩平面ABCD=BN,由正方体特征知A1D1∥平面ABCD,故A1D1∥BN,又A1D1∥BC,所以BN∥BC.这与BN∩BC=B矛盾,故假设不成立.所以直线BM与直线A1N是两条异面直线.3.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证:,,不成等差数列.证明:假设,,成等差数列,则+=2,即a+c+2=4b,

7、而b2=ac,即b=,∴a+c+2=4,所以(-)2=0.即=,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾,故,,不成等差数列.用反证法证明惟一性命题[例2] 求证:两条相交直线有且只有一个交点.[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况:“至少有两个”、“一个也没有”.[精解详析] 假设结论不成立,则有两种可能:无交点或不只有一个交点.若直线a,b无交点,则a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾.若直线a,b不只有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有

8、一条直线”相矛盾.综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.[一点通] 证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和惟一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其惟一性就较为简单明了.4.证明方程2x=3有且仅有一个根.证明:∵2x=3,∴x=log23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是惟一的,假

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