2018_2019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程讲义含解析

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1、2．6.1　曲线与方程在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？提示：不对．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中的条件(1)阐明了曲线具

2、有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．曲线与方程的概念[例1]　如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．其中正确的是____

3、____．(填序号)[思路点拨]　根据曲线与方程的概念进行判断．[精解详析]　依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性．由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．[答案]　④[一点通]　判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程

4、为x＝3；(2)到y轴距离为2的点的直线方程为x＝－2.解：(1)正确．理由如下：∵满足曲线方程的定义．∴结论正确．(2)错误．理由如下：∵到y轴距离为2的点的直线方程还有一个，∴结论错误．2.下列方程表示如图所示的直线c，对吗？为什么？(1)－＝0；(2)x2－y2＝0；(3)

5、x

6、－y＝0.解：第(1)题中，曲线C上的点不全都是方程－＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，－2)等，即不符合“以方

7、程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：点与曲线的位置关系[例2]　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的________个．[思路点拨]　方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0.[精解详析]　由对数的真数大于0，得x＋2y>0，∴A(0，－3

8、)、C(，－)不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．[答案]　2[一点通]　点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．3．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l、C的关系是________．解析：由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P∉l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴点P在曲线C上，即P∈C.答案：P∉l，P∈C4．证明

9、圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)、M2(－2，2)是否在这个圆上．解：(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．(2)设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M1(3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝2

10、5，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)的坐标代入