【AAA】偏微分方程差分方法汇总

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】第9章偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程

2、（9.1）G是R,R平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(R,R)≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件（9.2）第二边值条件（9.3）第三边值条件（9.4）这里，n表示Γ上单位外法向，α(R,R),β(R,R),γ(R,R)和k(R,R)都是已知的函数，k(R,R)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(R,R)称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(R,R)在区域G的一

3、些离散节点（Ri，Ri）上的近似值ui,j≈(Ri，Ri）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G={0

4、，Ri）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（Ri，Ri）;（Ri，Ri）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（Ri，Ri）上进行离散。在节点（Ri，Ri【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】）处，方程（9.1）为（9.5）需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（Ri，Ri）=(i,j)，节点函数值u（Ri，Ri）=u(i,j)。利用一元函数的TaRlor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式代入（

5、9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式其中。舍去高阶小项，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满足的差分方程（9.6）在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1=h2=h时，它简化为差分方程

6、（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j,(i,j)∈Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（Ri，Ri），(i,j)∈Γh（9.7）对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4），以左边界点(1,j)为例，见图9-2,利用一阶差商公式则得到边界点(0,j)处的差分方程（9.8）【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】联立

7、差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。考虑更一般形式的二阶椭圆型方程（9.9）其中A(R,R)≥Amin>0,B(R,R)≥Bmin>0,E(R,R)≥0。引进半节点利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程（9.10）其中（9.11）显然，当系数函数A(R,R)=

8、B(R,R)=1,C(R,R)=D(R,R)=E(R,R)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。9.1.2一般区域的边界条件处理前面已假设G为矩形区域，现在考虑G【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】为一般区域情形，这里主要