相似三角形-等积式-比例式

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1、专题：相似三角形的判定相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。　　我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。　　一、等积式、比例式的证明：　　等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。　　（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。　　等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边

2、的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。　　例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。　　证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC,则∠DCE=∠A.（二）若由求证的等积式或

3、比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。　　例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。　求证：BP2=PE·PF。　　分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PC

4、F，问题就能解决了。　　证明：　　例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。　　求证：。　　分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。　　证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，　　∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900，　　∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900，　　∴∠1=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴，　　又∵E是AC中点，∴DE

5、=EC，　　∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C，　　∴∠1=∠4，又有∠F=∠F，　　∴△FBD∽△FDA，　　∴，　∴（等比代换）　　二、双垂直条件下的计算与证明问题：　　“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论：　　（1）△ADC∽△CDB∽△ACB　　（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD　　（3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB　　（4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB　　（5）由面积得AC·BC=AB·CD

6、　　（6）勾股定理　　我们应熟记这些结论，并能灵活运用。　　例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：　　（1）AC=3，BC=4；　　（2）AC=，AD=2；　　（3）AD=5，DB=；　　（4）BD=4，AB=29。　　分析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。　　解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，　　（1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB==5，　　∵AC2=AD·AB

7、，　∴AD==，　　∴BD=AB-AD=5-=，　　∵CD·AB=AC·BC，　　∴CD=（或利用CD2=AD·BD来求）　　（2）∵AC=，AD=2，AC2=AD·AB，　　　　∴CD=，　　∵BD=AB-AD，　∴BD=-2=，　　∵BC2=BD·AB，且BC>0，　　∴BC=　　（3）∵AD=5，DB=，且CD2=AD·BD，　　∴CD==12　　　AB=AD+BD=　　∵AC2=AD·AB，　　∴AC==13　　∵BC2=BD·AB，　　∴BC=　　（4）BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，

8、　　∴BC==2，　　∴AD=AB-BD=29-4=25，　　∵AC2=AD·AB，　　∴AC==5，　　∵CD2=AD·BD，　　∴CD==10　　例5．已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FG⊥AE于G。　　求证：AG=4GE。　　分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k(k>0)，则EC=BC=k,FC=CD=AB=3k，得