2.3幂函数知识点归纳与练习(含详细答案)

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1、§2.3 幂函数课时目标 1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.1.一般地,______________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象.3.结合2中图象,填空.(1)所有的幂函数图象都过点________,在(0,+∞)上都有定义.(2)若α>0时,幂函数图象过点____________,且在第一象限内______;当0<α<1时,图象上凸,当α>1时

2、,图象______.(3)若α<0,则幂函数图象过点________,并且在第一象限内单调______,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图象关于______对称;当α为偶数时,幂函数图象关于______对称.(5)幂函数在第____象限无图象.归纳总结:1.幂函数在第一象限内指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的

3、m是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数.y=xα,当α=(m、n∈N*,m、n互质)时,有:第6页nmy=的奇偶性定义域奇数偶数非奇非偶函数[0,+∞)偶数奇数偶函数(-∞,+∞)奇数奇数奇函数(-∞,+∞)3.幂函数y=的单调性,在(0,+∞)上,>0时为增函数,<0时为减函数.一、选择题1.下列函数中不是幂函数的是(  )A.y=B.y=x3C.y=2xD.y=x-12.幂函数f(x)的图象过点(4,),那么f(8)的值为(  )A.B.64C.2D.3.下列是y=的图象的是(  )4.图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图

4、象,已知n取±2,±四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(  )A.-2,-,,2B.2,,-,-2第6页C.-,-2,2,D.2,,-2,-5.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(  )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a6.函数f(x)=xα,x∈(-1,0)∪(0,1),若不等式f(x)>

5、x

6、成立,则在α∈{-2,-1,0,1,2}的条件下,α可以取值的个数是(  )A.0B.2C.3D.4题 号123456答 案二、填空题7.给出以下结论:①当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线;②幂函数的图象都经

7、过(0,0),(1,1)两点;③若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大;④幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限.则正确结论的序号为________.8.函数y=+x-1的定义域是____________.9.已知函数y=x-2m-3的图象过原点,则实数m的取值范围是____________________.三、解答题10.比较1.、、的大小,并说明理由.第6页11.如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,求此函数的解析式.能力提升12.已知函数f(x)=(m2+2m)·,

8、m为何值时,函数f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.13.点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)

9、.]2.A [设幂函数为y=xα,依题意,=4α,即22α=2-1,∴α=-.∴幂函数为y=,∴f(8)====.]3.B [y==,∴x∈R,y≥0,f(-x)===f(x),即y=是偶函数,又∵<1,∴图象上凸.]4.B [作直线x=t(t>1)与各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的.]5.A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来,y=在x>0时是增函数,所以a>c;y=()x在x>0时是减函数,所以c>b.]6.B [因为x∈(-1,0)∪(0,1),所以0<

10、x

11、<1.要使f(x)=xα>

12、x

13、,xα在(-1,

14、0)∪(0,1)上应大于0,所以α=-1,1显然是不成立的.当α=

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