第七章第2讲空间几何体的表面积与体积

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1、第2讲　空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3[做一做]1．(2014·高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)A．2π　　　　　　

2、　　B．πC．2D．1解析：选A.以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．6B．3C．2D．3解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.1．辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．2.求空间几何体体

3、积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．3．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[做一做]3

4、．(2014·高考陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.B．4πC．2πD.解析：选D.正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝＝1，球的体积V＝r3＝.故选D.4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8，8解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4._

5、_空间几何体的表面积__________________　(1)(2014·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)A．90cm2　　　　　B．129cm2C．132cm2D．138cm2(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)A．2＋πB．2＋πC．2＋(1＋)πD．2＋π[解析]　(1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]

6、＋＝99＋39＝138(cm2)．(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即π＋π×＋×2×2＝2＋π，故选A.[答案]　(1)D　(2)A[规律方法]　(1)多面体的表面积的求法：求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．(2)旋转体的表面积的求

7、法：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．　　　1.(1)(2014·高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)A．21＋B．18＋C．21D．18(2)(2015·江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×＋2××()2＝21＋.故选A.(2)由图知圆台的上、下底面半径分别为r＝1，r′＝2，母线长为l＝，则圆台表面积为π(r＋r′)l＋

8、π(r2＋r′2)＝5π＋3π.答案：(1)A　(2)5π＋3π__空间几何体的体积(高频考点)__________空间几