第四章第3讲平面向量的数量积及应用举例

《第四章第3讲平面向量的数量积及应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量

2、a

3、

4、b

5、cos_θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b．即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cos_θ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)性质几何表示坐标表示模

10、a

11、＝

12、a

13、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

14、a·b

15、与

16、a

17、

18、b

19、的关系

20、a·b

21、

22、≤

23、a

24、

25、b

26、

27、x1x2＋y1y2

28、≤　　[做一做]1．(2014·高考湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±32．(2014·高考江西卷)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则

29、a

30、＝________．解析：

31、a

32、2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9

33、e1

34、2－12e1·e2＋4

35、e2

36、2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴

37、a

38、＝3.答案：31．辨明三个易误点

39、(1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·00≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．[做一做]3．已知向量a，b和实数λ，则下列选项中错误的是(　　)A．

40、a

41、＝　　　　　B．

42、a·b

43、

44、＝

45、a

46、·

47、b

48、C．λ(a·b)＝λa·bD．

49、a·b

50、≤

51、a

52、·

53、b

54、解析：选B.

55、a·b

56、＝

57、a

58、

59、b

60、

61、cosθ

62、，只有a与b共线时，才有

63、a·b

64、＝

65、a

66、

67、b

68、，可知选项B是错误的．4．(2015·湖北武汉调研)已知向量a，b满足

69、a

70、＝3，

71、b

72、＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：选D.a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝

73、a

74、2＋

75、a

76、

77、b

78、cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－，故所求夹角为.__平面向量数量积的运算______________　(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2

79、)，若

80、a

81、＝2，

82、b

83、＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)A.　　　　　　　B．－C.D．－(2)(2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．[解析]　(1)由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0，0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.(2)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.[答案]　(1)B　(2)22[规律方法]　向量数量积的两种运算

84、方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

85、a

86、

87、b

88、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．　　　1.(1)(2013·高考湖北卷)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C．－D．－(2)(2015·贵阳市适应性考试)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　)A.B

89、．2C．0D．1(3)(2015·广东梅州模拟)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则P点的坐标是(　　)A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)解析：(1)选A.由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影为＝＝.(2)选A.∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝

90、

91、＝，∴

92、

93、＝1，

94、

95、＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.(3)选C.设P点坐标