【素材】《几何概型》导学案（人教）

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1、3.3　随机数的含义与应用3.3.1　几何概型1.理解几何概型的定义及特点.(重点)2.了解古典概型与几何概型的区别.(重点)3.掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题.(难点)4.几何概型中几何度量的确定及计算.(难点)[基础·初探]教材整理　几何概型阅读教材P109，完成下列问题.1.定义图331如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图331所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2.

2、几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关.(　　)(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内.(　　)(3)几何概型的基本事件有无数多个.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√2.在区间[－1,2]上随机取一个数x，则

3、x

4、≤1的概率为________.【解析】　∵区间[－1,2]的长度为3，由

5、x

6、≤1得x∈[－1,1]

7、，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，

8、x

9、≤1的概率P＝.【答案】　[小组合作型]与长度有关的几何概型　某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率.【精彩点拨】　乘客在上一辆车发车后的5min之内到达车站，等车时间会超过10min.【尝试解答】　设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示.

10、记“等车时间超过10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生.∴P(A)＝＝＝，即该乘客等车时间超过10min的概率是.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.[再练一题]1.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的

11、概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮.【解】　在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型.(1)P＝＝＝.(2)P＝＝＝.(3)P＝＝＝＝，或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.与面积有关的几何概型　设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4cm，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.【精彩点拨】　当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构

12、成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.【尝试解答】　设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概率公式得：P(A)＝＝.几何概型的特点是基本事件有无限多个，但应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.[再练一题]2.如图332，一个等腰

13、直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________.图332【解析】　由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为2－.故所求概率为＝1－.【答案】　1－与体积有关的几何概型　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，

14、求蜜蜂“安全飞行”的概率.【精彩点拨】　利用体积之比求概率.【尝试解答】　依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝＝.与体积有关的几何概型问题的解决：(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：P(A)＝.(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率