实数完备性基本定理地相互证明

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1、实用文档实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列有上确界，令，下面证明：.对任意的，由上确界的定义，存在数列中某一项,使得：.由于单调递增,故对任意的，有：.另一方面,由于是的一个上界,故对任意的正整数都有：.所以任意的，有：，即：.由极限的定义，.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：设是一个闭区间套.令数集.由于任一都是数列的上界，由确界原理，数集有上确界，设.下证属于每个闭区间显然，，故

2、只需证明对任意正整数，都有.事实上，对任意正整数，都是的上界，而上确界是最小上界，故必有.所以存在实数，使得下证唯一性，假设还有另外一点，也满足.则，故有:.唯一性得证.文案大全实用文档3.确界原理证明有限覆盖定理证明：欲证闭区间的任一开覆盖都有有限的子覆盖.令显然有上界.又覆盖闭区间，所以，存在一个开区间，覆盖住了.取，则显然能被中有限个开区间覆盖（1个），，从而非空.由确界原理，令.先证明.用反证法，若，则.由覆盖闭区间，一定存在开区间，覆盖住了.取，使：，则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖，即，

3、这与矛盾，故.最后证明.设开区间，覆盖住了.由，故存在使得：且.则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖.4.确界原理证明聚点定理证明：设有界无限点集，则由确界原理令.若是的一个聚点，则命题已经成立，下面设不是的聚点.令.因为不是的聚点，所以存在，使得只包含中有限个数，故，从而非空.又有界，所以的所有上界就是的上界，故有上确界，令.下面证明是的一个聚点.对任意的，，故包含中无穷多个元素.由上确界的定义，存在，使得，故中只包含中有限多个元素.从而我们得知文案大全实用文档中包含了中无穷多个元素，由聚点的定义，是

4、的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy收敛准则证明：必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切，有.于是对一切，有.充分性：现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.令数集，明显数列的下界都属于，并且的上界就是的上界.由确界存在定理，令.对条件给定的和，，故包含中无穷多项.由上确界的定义，存在，使得，故中只包含中有限多个元素.从而我们得知中包含了中无穷多个元素，设则对任意正整数，总存在某个，故有：.从而.二.单调有界定理6．单调有界定理证明确界定理证明：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界.设.明显是一个可数集，所以假设：.

5、令.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令先证是上界.任取，有，由极限的保序性，.其次对于任意的，取一个有理数，它明显不是的上界，否则文案大全实用文档产生矛盾！故存在，使得，我们证明了是数集上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若是一个区间套,则为单调递增有上界的数列,由单调有界定理,令，并且容易得到.同理,单调递减有下界的数列也有极限,并按区间套的条件有：，并且容易得到.所以下证唯一性，假设还有另外一点，也满足.则，故有:.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设.容易得到中包含无穷多个元素，并且是一个可数集，所以假

6、设：.令.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理得，令.先证明.用反证法，若，则.由覆盖闭区间，一定存在开区间，覆盖住了.取，使：，则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖，即，这与矛盾，故.最后证明.设开区间，覆盖住了.由，故存在使得：.则能被中有限个开区间覆盖，把加进去，就得到也能被中有限个开区间覆盖.9.单调有界定理证明聚点定理证明：设是一有界无限点集，在中选取一个单调，下证数列有聚点.文案大全实用文档（1）如果在的任意一项之后，总存在最大的项,设后的最大项是，后的最大项是，且显然；一般地，将后的最

7、大项记为，则有：.这样，就得到了的一个单调递减子列.（2）如果（1）不成立则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取，因不是最大项，所以必存在另一项又因为也不是最大项，所以又有：，这样一直做下去，就得到了的一个单调递增子列.综上所述，总可以在中可以选取一个单调数列，利用单调有界定理，收敛，极限就是的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则证明：必要性：若，则对任意的，存在正整数，对一切，有.于是对一切，有.充分性：现假设满足对任意的，存在，对一切正整数，有.先证明柯西数列是有界的

8、.取，故存在某个正整数，对一切，有，即.故有界.参考9的做法，可知数列有一个单调子列，由单调有界定理，收敛，令.则对任意正整数，总存在某个，使得，故有：..从而.三．区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集必