2019高考数学考点突破__导数及其应用与定积分：导数与函数的极值最值学案

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1、导数与函数的极值.最值【考点梳理】1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值代刃比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(日)=0,而且在点x=a附近的左侧f3<0,右侧f3>0,则点a叫做函数的极小值点，g叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(0在点x=b处的函数值代方)比它在点x=b附近其他点的函数值那人,F(力=0,而且在点x=b附近的左侧尸(劝>0,右侧尸(劝<0,则点〃叫做函数的极大值点，/U)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在0,方］上有最

2、值的条件如果在区间切上函数y=f{x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f^在［自，切上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(日，方)内的极值;②将两数y=fx)的各极值与端点处的函数值f(日)，f(勿比较,苴中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f(x)=ln站(日GR).(1)当自=£时，求的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.［解析］⑴当白=£吋’f(x)=ln］［2—x函数的定义域为(0,+->)且严(^)=—-=,

3、x2lx令f，(x)=0,得x=2,于是当x变化时，尸(x),f(x)的变化情况如表.X(0,2)2(2,+-)F3+0——f(x)单调递增In2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln2—1,无极小值.(2)由⑴知,函数的定义域为(0,+8),■/、1—ax,、f(x)=一一a=(x>0)•XX当时，f(%)>0在(0,+8)上恒成立，当日>0时，当XW(x)〈0,即函数在(0,+oo)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点;当胆故函数在w处有极大值•综上可知，当mWO时，函数f(x)无极值点，当Q0时，函数

4、y=fx)有一个极大值点，且为【例2】⑴若函数彳一討+卄1在区间&4)上有极值点，则实数日的取值范围是C.A.B.2,D.口、~)⑵已知函数心)=/+/+加一才―7自在尢=i处取得极大值10,贝吩的值为()b2A.--B.-222C.—2或一3D.2或一3［答案］⑴D(2)A3［解析］⑴因为f3=y-p+^+l,所以f(^)=x—ax+./a函数f(x)=y—1/+^+1在区间百，4丿上有极值点可化为f(x)=x—ax+l=o在区间g，4)上有解，即仪=才+£在区间(2,4)上有解，设t(x)=x+-f则t'(0=1—£,XX令尸(x)>

5、0,得1

6、l+m+方一才一7日=10,$=—2,解得」臼=—6,Z?=9,经检验丿日=—6,方=9,满足题意,【例3】设函数f(x)在R上可导，其导函数为尸(方，且函数尸(1—方尸(力的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f3有极大值f(2)和极小值f(l)B.函数f(x)有极大值f(_2)

7、和极小值f(l)C.函数f{x)有极大值A2)和极小值A-2)D.函数fXx)有极大值A-2)和极小值A2)［答案］D［解析］由题图可知，当x<_2时，尸(力>0；当一2V/V1时，F(劝<0；当lVx<2时，F(%)<0；当x>2时，ff(%)>0.由此可以得到函数/V)在x=_2处収得极大值,在^=2处取得极小值.【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1.求函数f(x)=x—aln的极值.［解析］由f(力=1—空=二，qo知：XX(1)当日W0时，尸匕)>0,惭数f(x)为(0,+8)上的增函数，函数fd)无极值；(2)当日

8、>0时，由尸(x)=0,解得x=a.又当xE.(0,臼)时，f(%)<0；当(a,+8)时，f1(劝>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(&)=白一臼In臼，无极大值.综上，当曰W0时，函数/'(0无极值；当自>0时，函数广(0在x=a处取得极小值自一自In日，无极大值.2.己知函数f(x)="+日#+@+6)1有极大值和极小值,则实数日的取值范馬是()A.(-1,2)B.(一8,-3)U(6,4-oo)C.(-3,6)D.(一8,-1)U(2,4-oo)［答案］B［解析］f(方=3#+2盘x+(臼+6),由已知可得尸(方=

9、0有两个不相等的实根，・•・zl=4/—4X3Q+6)>0,即才一3日一18>0,・•・日>6或曰<一3.1.己知日为函数Ax)=7-12x的极小值点