竞赛讲座18类比、归纳、猜想67319

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1、竞赛专题讲座18-类比、归纳、猜想数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的冃的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.所谓类比，就是出两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.运用类比法解决问题，其基木过程可用框图表示如下：【类比何题的解法I类比问痩］可见，运用类比法的关

2、键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对彖的角度不同，类比法常分为以下三个类型.（1）降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间屮的对象，此种类比方法即为降维类比.【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点0分别作OAi/ZVA,OB】〃VB,OG〃VC,AhB.,Ci分别是所作直线与侧面交点.OA]OE]0C]求证：VA+VB+说为定值.分析考虑平面上的类似命题：“过AABC（底）边AB上任一点0分别作0A1/7AC,OB0BC,分别交BC、AC于OA]OB】Ai、B.,求证％°+BC为定值”.这一命题利用

3、相似三角形性质很容易推出其为定值1・另外，过A、0分别作BC垂线，过B、0分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1・证明：如图，设平面OAiVAABC=M,平面OBiVBAAC=N,平面OGVCQAB二L,则OA】VA有厶MOAi^AMAV,ANOB.^ANBV,ALOGsLCV.得AOBjOC]OMONOL+莎+V^=AM+BN+CLo在底面AABC中，由TAM.BN、（X交丁•一点0,用面积法易证得:OMONOLAM+BN+CL二i。OA】OE]OC】AVA

4、+VB+说二i。【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集•证明S丄中没有一对点的距离大于"低.【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的止三角形，以各边为直径作圆，S'是所作三个圆的交集”，通过探索S，的类似性质，以寻求木题的论证思路.如图，易知S'包含丁•以正三角形重心为圆心，以6为半径的圆内.因此V内任意两点的距离不人于3.以此方法即可获得解本题的思路.证明：如图，正四面体ABCD屮，M、N分别为BC、AD的屮点，G为ABCD的屮心，]]MNQAG=().显然0是止四面体ABCD的屮心.

5、易知0G二刁-AG=2^,并且可以推得以0为球心、0G为半径的球内任意两点间的距离不大于"用,貝球0必包含S.现证明如下.根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球()内，现证P亦不在S内.a/2丄0M若球0交0C于T点。ATON中,ON二4,0T=,cosZTON二cos(兀一ZTOM)=—OC。山余弦定理：0M1]TN2=ON2+OT2+2ON•0T•°C=4,2。又在RtAAGD屮，N是AD的屮点，AGN=2。由GN=NT=2,()G=OT,ON=ON,得AGON^AT

6、ONo二ZT0N=ZG0N,且均为钝角.2于是显然在AGOC内，不属于球0的任何点P,均冇ZP0N>ZT0N,即冇PN>TN=2,P点在N为球心，AD为直径的球外，P点不属丁区域S.J_由此可见，球0包含六个球的交集S,即S屮不存在两点，使其距离大于(2)结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.【例3】任给7个实数Xk(k=l,2,…，7).证明其中有两个数Xi,xj,满足不等【分析】若任给7个实数屮有某两个相等，结

7、论显然成立.若7个实数互不相等,则难以下手.但仔细观察可发现：1+XiXj与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换：xk=tgak丄(k=1,2,…，7)，证明必存在ai,uj,满足不等式0Wtg(u厂aJWaR•证明：令Xk=tgak(k=1,2,…，7),71兀e(-2,2),则原命题转化为：证明存在两个实数ai,7171ajE(-2,2),丄满足0Wtg(di-aj)疗•兀71由抽屉原则知，J屮必有4个在［0,2)屮或在(-2,0)屮，不妨设有4个在71

8、71J_71［0,2)屮.注意到tg0=0,tg6=^,而在［0,2)内，tgx是增函数，故只需兀兀证明存在ai,aj,使0Qj,贝Ij0^a.-aj,故］&