2012北京高三数学一模理科试题及答案之昌平篇

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1、2012年北京市昌平区高考模拟训练试题：数学（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．（题1）设集合，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【解析】D；，，故，因此2．（题2）设平面向量，若，则等于（）A．B．C．D．【解析】A；，则，从而3．（题3）若复数满足，则对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】B；．4．（题4）设

2、函数，则其零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解析】B；在上单调增，，，故零点所在区间．5．（题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【解析】B；由，可得，∴．6．（题6）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）A．B．C．D．【解析】C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．7．（题7）某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工

3、总数为（）A．110B．C．90D．80【解析】B；设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得．8．（题8）设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（）A．B．C．D．【解析】D；由题设，于是定积分．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．（题9）把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是．【解析】；．10．（题10）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示

4、，则此几何体的体积是．【解析】6；几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为．11．（题11）若是上三点，切于点，，则的大小为．解析：如图，弦切角，于是，从而．12．（题12）若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为．【解析】；曲线：，点到的距离为，因此；，即．13．（题13）若为的三个内角，则的最小值为．【解析】；，且，因此，当且仅当，即时等号成立．14．（题14）有下列命题：①若存在导函数，则；②若函数，

5、则；③若函数，则；④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是．【解析】③；，①错误；，则，②错；，③正确；，，只需即可，是的充分不必要条件．3三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（题15）已知函数⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数，求的值域．【解析】⑴，∴最小正周期．由，得函数图象的对称轴方程为⑵当时，取得最小值；当时，取得最大值2，所以的值域为．16．（题16）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点．⑴求证：；⑵求二面角的余弦值；⑶若四棱锥的体

6、积为，求的长．【解析】⑴∵平面，平面∴∵∴∴平面又是中点，∴平面∴．⑵建立直角坐标系，设则∴由⑴知，平面，∴是平面的法向量．设平面的法向量为，则且，∴．∴，二面角的余弦值为．⑶连结，设，，∴．∵是直角三角形，∴．17．（题17）某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．统计信息汽车行驶路线不堵车的情况下到达所需时间（天）堵车的情况下到达

7、所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路123公路21[4⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为（万元），求的分布列和数学期望；⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润销售收入运费）【解析】⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润万元堵车时公司获得的毛利润万元∴汽车走公路1时获得的毛利润的分布列为∴万元⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为万元不堵车时获得的毛利润万元堵车时的毛利润万元∴汽车走公路2时获得的毛利润的分布列为[∴万元∴∴选择公路2可能获利更多．18．（题18）已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处

8、的切线方程为，①求在区间上的最大值；②求函数的单调区间．【解析】⑴．∵是极值点，∴，即．∴或2．⑵∵在上．∴