备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题08函数的最值与值域的妙解

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1、专题08函数的最值与值域的妙解考纲要求：1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值.常用方法有：单调性法、图彖法、基本不等式法、导数法、换元法.2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾:函数的最值前提设函数y=f^的定义域为/,如果存在实数M满足条件①对于任意x",都有f{x)5①对于任意xj都有f{x)三用；②存在XqWI,使得fix)=M②存在禺丘厶使得Aao)=m.结论〃为最大值刃为最小值应用举例：招数一：换元法与配方法【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】惭数Ax)=logr^x・log逅(2兀)的最小值为.【答案】-*【解析】依题意得才3=扣列・(2

2、+2』Qg：X)=(止&3'+』0轲=(10轲+*)-扌刁-右当且仅当2OgiX—-p即"=当寸等号成立，因此函数Hx)的最小值为-扌.【例2]【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数二云的值域。【答案】J1-f2i-f21【解析】g]_2x=t,则&0且x=2，于是2—t=—-(t+iY+f由于心0,所以点故函数的值域是{凡拓扣【例3】函数y=sin2x-4siar+5的值域为()A.[l,+oo]^.(1,F)C[2,10]〃.[1,10]【答案】c【解析】令/=sinx3/e[-l3l],则原式变为于⑴一蛀+5/(/)=(/-2)2+1在[_1,1]递减，/(-1)=103

3、/(1)=2值域为[2J0]本题选择f选项.招数二：图像法【例4】.【2017届山西省实验中学高三3月联考】+cos—兀>LI设函数/(%)={*2，函数g(兀)=x+—+°(无〉0),若存在唯一的兀()，使得x2,00)>2Jx-—+cz=2+tz,XYX当且仅当x=l取得最

4、小值2+67,由存在唯一的X。，使得/z(x)=min{/(x),2,由x^g{x),即一1W/W2时，%2+x+2,xg(―8,—1)U(2,+°°)AfM=2，如图，由得图像可得：当才V—1或Q>2[x-x-2,xg[-1,2]199时，f(x)>2；当一1W/W2

5、时，/(-)Vf(x)Wf(2)O—才W/U)W0,所以f(x)的域为[--,0]U(2,+8),故选yA//:M招数三：基本不等式法yxV【例6】【2017浙江省金华.丽水、衢州市十二校联考】设minUy}=f一J若定义域svy2v-为R的函数/(x)，g(x)满足/(x)+g(x)=~，则min{/(x),g(x)}的最大值为x+8【答案】*•【解析】设min{/(x),^(x)}=m,••餐代=2必畑+g(g必十，显[m0,/¥,・・•必¥,当且仅兀二1/W=g（兀）当L=-时等号成立，即加的最大值是血，故填：—.X88x>0■【名师

6、点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘.【例7】【2017河北省武安一屮高三月考】求函数y=log3x+logv3-l的值域.【答案】（—8,—3]U[1,+°°）.【解析】函数定义域为{剂“€兄x>0?且详1}・当.时，琢Qo>于是歹=儿站+15=2flogjX--一1=1；log^JT[Jfogax当0<时，lo^x<.0y于是1o^x--1=—[―logax+（）]—1W-2-1=一3・-log3x故函数的值域是（一8,-3]Utb+8）・招数四：单调性法（兀+2）（兀+5

7、）【例8】设x>2,则函数y=——△——的最小值是x+1OQ【答案】34OR【解析】令兀+1=/,则『"++5,虫[3,+oo）.该函数是[3,+8）上的增函数，则儿in=.t【例9】函数f{x）=lnx-x在区间（0,0]上的最大值为（）A.1—eB.—1C—el）.0【答案〃I1—x【解析】因为f（力=一一1=—,当（0,1）时，r（劝>0；当^e（l,e]时，f（方xx<0,所以fd）的单调递增区间是（0,1）,单调递减区间是（1,e],所以当x=l