第一讲函数极限连续(学生用)

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1、高等数学第一讲函数、极限、连续I•考试要求1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念

2、（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.H.考试内容—.函数（-）函数的概念对应关系，定义域（二）函数的性质1・有界性3M>0,均有f（x）M2有下界/（兀）有界o/（兀）有上界II有下界2.单调性Xfxi.f（兀2）），单调增加（减少）.3.周期性3r>0,Vx€(-oo,+oo),均有/(x+T)=/(x)侧称/⑴

3、为周期函数4.奇偶性VXG(-/,/),均有/(-%)=f(x)(-/(X)),则于(兀)为偶(奇)函数.【例1】设Fx)=f(x),则下列结论正确的是()•(A)若/'(X)为奇函数，则尸(兀)为偶函数.(B)若/⑴为偶函数，则F⑴为奇函数.(C)若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数.(D)若/(X)为单调函数，则F(x)为单调函数.(三)函数的类型1.基本初等函数y=C,y-x,u,y-ax,y=y=sinx,y=cos,y=arcsinxfy=arccos.2.复合函数名合一y二/(w),u=(p{x)「：〉y二/(0(x))一拆多3•反函数)，=/(兀)，

4、x=4.初等函数5.隐函数F(x,y)=0(x+y=0,y=sinxy).6・幕指函数f(xY(x)=^(x),n/(v),/(x)>0.7.分段函数:/；(%),%xQ隐含的分段函数①,y=

5、/(兀)

6、,②y=[/(兀)],③y=sgn/(%)④y=max{/(x),g(x)}=心巴心网,y=mm{f(xg(x)}=/(兀)+g(x)-

7、/(x)-gCr)

8、2&参数方程(数一.二要求)x=(p(t)y=0(/)_x=rcos39・极坐标方程r=询,.八[y=厂sm&二.极限(一)极限定义Xn-A<£.imxH=A<=>Vr>(),mN>0,当

9、n>N时,"T8若记/(n)=xn,lim/(n)=limHT8n—>oo

10、x

11、>Xlim/(x)=A«V£>0,3X>0,当(兀>X)时，f(x)-AV£>0,3^>0,当0

12、/(x)-A

13、<£~8vx—x()v0(一)极限的性质1.唯一性2.局部保号性0若lim/(x)=A>0,贝!j3t/(x0)(

14、x

15、>X),使得在其内有/(x)>0Xf0(XT8)3.局部有界性若lim/(x)=A存在，贝iJ3(/(,(x())(

16、x

17、>X),使得在其内/

18、(兀)是有界的，(XT8)【例2】设/(兀)在x=0的某邻域内连续，且/(0)=0,lim/⑴=2,则/(兀)在XT01一COSXx=0处.(4)有最大值.(3)有最小值.(C)有极大值.(D)有极小值.答案：(C)(二)无穷大量无穷小量1.定义lim/(兀)=0无穷小，lim/(x)=oo无穷大2.无穷小的主要运算(1)任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小(2打有界量与无穷小之积仍是无穷小(3)lim/(x)=A存在o/(x)=A+a(a—>0)3.无穷小的比较设lima(兀)=O,lim0(兀)=0,且lim"兀=1,贝!

19、0(兀)(i)ZHOjHoo,0(兀)与0(兀

20、)同阶(ii)/=1,a(x)~0(兀)(i)/=O,G(x)是0(x)的高阶无穷小，o(x)=o(0(x))(ii)/=OO,0(兀)=o(a(x))注：（1）lima（兀）=lim0（兀）=0,若lim竽=1」$0,1壬8,a（兀）是0（兀）的£阶0（兀）无穷小.⑵lim虫込0a(x)1.等价无穷小的应用（*）若a（兀）〜ax）,0（兀）~0'（兀）WJlima（x）/（x）=lima'（Qf（x）a（x）ax）limf（x）=hmf（兀）,0⑴八0⑴八注：一般只在乘除法中应用.常用等价无穷小当xt0时，兀〜sinx〜