6、teffenson法牛顿法7.割线法8.代数方程求根一.基本题型之一：给定非线性方程组，选择适当的解法求出近似根基本解法有二分法，不动点迭代法，牛顿法(也是不动点迭代的一屮)和割线法等，有时需要用有关的加速法。1.用二分法求解方程2'x4-2cosx=0,使精度
7、<10-2,并估计最小二分次数。解：设/(x)=2-x+2cosxo因为/(l)=2_1+2cosl>0,/(2)=2-2+2cos2<0,故在[1,2]中，方程有零点。又因/(x)=-2~vIn2-2sinx,而/(l)=-2_1ln2-2sinl<0,f(2)=-T1ln2-2sin2<0
8、,由单调性可知，/(兀)在[1,2]屮有唯一零点。(1)先估计二分最少次数。题目要求
9、无-无_】
10、<10一2,这与教材中的精度要求b-a是不一样的，故不能直接用教材里给出的估讣迭代次数的公式，需要另行推导，请同学们注意此类“陷阱因为I兀一无（V寫，X严答g二叽；几,所以要根据两种可能情况来确定忑-忑T的大小：（注：下图中打印的同学未能把无等打在lak_vbk_｛］的中点，所以大家看得时候要当心一一周国标）情况一I%林-]bk-Xak无bkak-xk-xkbki在这两种情况下:已知要求
11、<10-2,即有与再=斜<10一2,解得情况二「k>6f即最小
12、二分次数为6次。（2）具体计算结果如下表:k兔bk1母一无-110121.511.521.750.2521.51.751.6250.12531.6251.751.68750.062541.68751.751.718750.312551.718751.751.734380.0156361.718751.734381.726560.00781故X«1.72656=x6,此解满足
13、兀§一兀5lvl°「22.求解方程：x-2cosx=0o（1）该方程有几个根；（2）用迭代法求出这些根，精确到四位有效数字。解：一般而言，要先确定方程的根的存在区间，把握函数在区间
14、的单调性来确定方程根的个数，然后用牛顿法求解。可以先大致画图，判断根的情况。88-6-20246(1)如方程有根则x=2cosx贝Ij
15、x
16、=2
17、cosx
18、<2,即xe［-2,2］.记/(x)=x-2cosx,则f(x)=l+2sinxo在
19、一2,2］内，求解f(x)=0的根(即求/(兀)的平稳点)，解出：x=--6rrjr当兀w［—2,—］时,f(x)<0:当xg［—,2］时，f(x)>066又/(-2)<0,/(--)<0,/(2)=2-cos2>06rr故方程在［—,2］内有唯一根。6JT⑵用牛顿法，取如冷，Sgm_^_A；-2cosxAl+2
20、sin血R=0丄2取兀0=彳，是为了使兀0尽可能靠近F，使牛顿迭代的收敛性得到保证。计算结果如下:F2cos?=1.04586；x2=1.02991；兀=1.02987至此，已有1.029,四位有效数字了，迭代结束，取/1.02987o3.求解方程2x-lgx-7=0最大根。(1)写出求解此方程的最大根的不动点迭代公式；(2)确定迭代收敛的条件；(3)求出方程的最大根，计算过程取5位有效数字，精确度要求为
21、耳利-无IvlfT4。解(1)首先要确定最大根的所在空间，而且为单调区间，即在该区间中有单根，这是选取初始值的前提。然后进行迭代。ifi/(x)=2
22、x-lgx-7,根据lg兀的定义，/O)在(0,+oo)有定义。f(兀)=2—1xln10当需八力<0,在此区间,/(X)为单调减函数。当x>777oodj,八兀)>°'在此区间，/(劝为单调增函数/(10'8)«1.070>0,/(10'6)«1.0>0/⑶=-1.4771<0,/(4)=0.3979>0故［lO-'jO-6］和［3,4］为方程的有根区间，且在每个区间中，只有一个根。为此，方程最大根在［3,4］内，构造迭代格式无+i=7+；"‘k=0,1,2....其迭代函数为0(兀)=弓竺。<4,(2)(p(x)=—!—。当xg[3,4],3<7+
23、lg3<^(x)<7+，g42xlnl022故满足在［3,4］区间内的不动点迭代收敛条件,迭代
